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HPM微课：让学生和数学史深度遇见
【编者按】 数学具有悠久的历史,一直伴随着人类文明的诞生和发展.随着课程改革的深入,关于数学史的研究受到越来越多的关注,数学史的教育价值得到广泛认可.如何搭建数学史与小学数学教育的桥梁,让学生与数学史深度“遇见”？本期推介孙媛媛和毛新薇两位老师的教学探索,以资借鉴.
摘 要：HPM微课,是针对一个数学知识点及其相关的数学史,制作成5~10分钟的讲解.作为一种新兴的教学资源,HPM微课更容易将数学史转化成学生能够接受、易于理解的形式,使数学史的学习从枯燥乏味到生动有趣、从晦涩难懂到易于理解、从课堂闪现到随时学习.HPM微课应用于教学,主要可分为呈现背景型、梳理史料型、揭示算理型、剖析解法型、传播文化型五种类型.
关键词：数学史HPM微课
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011版课标”）指出：“数学是人类文化的重要组成部分,数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.”数学文化是学生应该具备的基本素养,数学史是数学文化的有效载体之一.但是数学史料大多晦涩难懂,学生在阅读时有一定的困难.为了让学生获得易于理解的数学史,领会数学思想和方法的形成过程,我们有必要把数学史料加工成适于数学教育的形态.然而,传统的教学常常将数学史一带而过.如何发挥数学史应有的价值,防止它与学生“擦肩而过”？笔者认为,微课这种新兴的教学资源能够使数学史和数学教育更好地融合,让数学史以学生喜闻乐见的形式呈现,促进学生对数学思想和本质的理解.
一、HPM微课的内涵与价值
(一)HPM微课的内涵
HPM（History and Pedagogy of Mathematics）即数学史与数学教育之间的融合.HPM微课,是针对一个数学知识点及与其相关的数学史,制作成5~10分钟的讲解.HPM微课一般内容较少,时间较短,便于学生在短时间内高效地完成数学史的学习任务,而不会感到疲劳或注意力分散.
(二)HPM微课的价值
HPM微课作为一种新兴的教学资源,更容易将数学史转化成学生能够接受、易于理解的形式,这种转化主要体现在以下三个方面：
1.从枯燥乏味变为生动有趣.
苏教版小学数学五年级下册第95页的《你知道吗》栏目用了很长一段文字介绍了人类对于圆周率的研究成果,但每个成果的介绍只是点到为止,读来让人感觉枯燥乏味.教师不妨将圆周率的发展史制成边讲解边演示的HPM微课,其中可包括《周髀算经》中关于“周三径一”的记载,古希腊数学家阿基米德发现圆周率的过程,我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”,南北朝科学家祖冲之算出圆周率的值精确到小数点后7位的研究成果,现代计算机的使用对于圆周率计算的影响,等等.显然,图文并茂、生动有趣的形式,学生更容易接受,能够更好地激发学习的兴趣,同时感受我国数学家的杰出贡献.
2.从晦涩难懂变为易于理解.
苏教版小学数学四年级上册第112页的《你知道吗》栏目（见图1）介绍了古代用算筹进行加减乘除运算.
这段文字不太容易理解,在阅读的时候,学生会产生很多疑问：算筹是什么？横着的和竖着的算筹分别代表什么意义？上位、中位、下位分别是什么意思？怎样用算筹计算减法、乘法和除法？如果用HPM微课展示这部分内容,先介绍相关背景资料,再配以动画演示用算筹计算的摆放过程,就能使相关知识变得易于理解.
3.从课堂闪现变为随时学习.
教师在课堂上零星介绍的一些数学史,大多是通过PPT展示,或是诵读数学家的小故事,对数学史的介绍都是闪现的,导致很多学生下课后就遗忘了.利用HPM微课,教师将做好的微课分享给学生,学生可以课前预习,也可以课后复习巩固,方便学生随时学习.
二、HPM微课的构建类型
HPM微课的构建类型分为五种：呈现背景型、梳理史料型、揭示算理型、剖析解法型、传播文化型.为了更好地挖掘数学史中与教学目标相融合的知识,设计形式多样的微课资源,教师可以组成团队,每个学期制作一些微课材料,然后进行交流分享,形成共同体,方便教学和交流.
(一)呈现背景型
2011版课标指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.”对数学发展历程的呈现,可以帮助学生更加透彻地理解数学的价值及特点,更好地体会数学思想.
苏教版小学数学五年级上册第4页的《你知道吗》栏目（见图2）呈现了关于负数的数学史知识.
这段文字对负数的介绍较为浅显,如果让学生自己去查阅资料会浪费很多时间,有的学生可能根本不去查.因此,教师可以借助HPM微课对相关数学史加以挖掘,呈现负数的产生和发展的过程,包括还有哪些与古人生活息息相关的负数、负数产生之前出仓或支出钱币是怎样记录的、刘徽是在解决什么问题时提出正数和负数概念的、我国什么时候开始引用“+”“-”表示正数和负数的,等等.通过这样的背景介绍,学生将会更深入地理解负数的概念,为灵活运用打下基础.
(二)梳理史料型
数学教育应遵循数学发展史渐进的、系统化的过程,使学生开展创造性学习.在传统教学中,教师更多地关注数学知识的结果,常常忽视数学知识的发展过程,导致学生知其然不知其所以然,难以灵活运用数学知识解决日常生活中的实际问题.
苏教版小学数学二年级下册第33页和四年级上册第112页的《你知道吗》栏目,介绍了古代算筹和学生熟悉的阿拉伯数字之间的对应关系（见图3)和用算筹做加法计算的过程（见图4）.
根据上述史料,设计HPM微课,对算筹的相关史料进行梳理.借助HPM微课展示用算筹表示数的各种形式,应用算筹进行加、减、乘、除运算的动画演示等.通过一系列的算筹展示,学生了解运算的发展过程,体会加、减、乘、除运算由来已久.
(三)揭示算理型
苏教版小学数学三年级下册第14页的《你知道吗》栏目,介绍了“铺地锦”的内容,这是明朝数学家程大位的《算法统宗》一书中讲述的一种计算两位数乘两位数的方法.教材对铺地锦的介绍比较笼统,计算过程也没有完整地呈现,学生不容易理解.而这段数学史可以很好地与教学目标相融合,因此,教师可以设计HPM微课介绍有关铺地锦的计算方法.
如以72×36为例,HPM微课演示利用铺地锦计算两位数乘两位数的方法和步骤（见图5）.在微课展示过程中,通过讲解一些有关乘法的规则、结果填写位置、进位的方式等,揭示两位数乘两位数的算理,使学生明白铺地锦与竖式计算之间的联系,更深刻地理解算理.
(四)剖析解法型
苏教版小学数学五年级下册《因数与倍数》单元,教材运用从乘法找因数的思路,列举出两个数的因数,找到公因数后确定这两个数的最大公因数.中外历史上都有关于最大公因数的解法,教师可以利用HPM微课剖析历史上求最大公约数的解法,开展相关专题的教学.
1.更相减损术.
中国传统数学是用更相减损术求两个正整数的最大公约数.《九章算术》约分术中介绍了更相减损术：“约分术曰：可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”意思是：首先判断两个数是否都是偶数,如果是,可以先减半；如果两个数不全是偶数,便将两个数互减,以少减多,直到得出的两个数相等为止.此处的“等数”,即为最大公约数.从大小不同的两个数入手,经过一系列的相减,直到出现一对相等的数,叫作等数,这种解法就是更相减损术.
如用更相减损术求49与63的最大公约数,可以通过HPM微课动画演示古代算筹的计算过程.我国古代用的是算筹,数字都是用算筹排成的,相减时只需取走或重新摆一下算筹即可.如图6,当上、下两数都是7时,7就是等数,即最大公约数.
2.辗转相除法.
公元前3世纪,欧几里得在《几何原本》中介绍了求两个正整数a,b（a＞b）最大公约数的方法,即求出一列数：a,b,r1,r2,…,rn-1,rn,0.这列数从第3项开始,每一项都是前两项相除所得的余数,其中rn就是a和b的最大公约数.这种方法称为辗转相除法,又名欧几里得算法.
这种方法看起来深奥难懂,但是如果通过微课结合具体的例子进行展示,学生很容易就能理解其中的数学思想.还是以49与63为例,其中a等于63,b等于49,算式就是63÷49等于1……14,即r1等于14；49÷14等于3……7,即r2等于7；14÷7等于2,即r3等于0.由此可得r2等于7就是63与49的最大公约数.
各种思路求最大公约数的HPM微课展示,使学生认识到数学知识的博大精深,同样的问题可以从不同的角度入手解决,从而培养学生多角度思考问题的习惯.
(五)传播文化型
HPM微课作为传播数学文化、渗透数学之美的载体,为学生提供了很好的学习资源.HPM微课中展示的中国历代数学家的数学研究小故事,可以让学生感受数学家们不怕艰苦的钻研精神和孜孜不倦的探索精神,他们的人文精神熏陶着每一个学生,培养了他们的情感态度,影响着他们的价值观.
数学史论文范文结:
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