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全等三角形证明的教学体会

吴应辉

初中数学教学中,三角形全等的证明是几何证明的重要基础也是重要内容之一,也是证明线段、角相等的方法之一.如何使学生更好地掌握它,关系学生对几何学习的情感与态度.因此,它一直是师生都在探究的一个问题.下面就多年的教学谈谈自己的教学体会.

一、教学紧扣教材,以重要语句作讲解

在证明“两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上”,并且举例进行了说明.在教学过程中,教师以这句话向学生强调：“通常情况下,我们应该遵循这一要求,因为这样做有两个好处,一是使我们养成按对应顶点,记全等三角形的习惯.二是以后我们遇到题中写有两个三角形全等,不论它是出现在已知还是求证中,我们都可以利用它是按对应顶点记的这一特点画出图形,找到各对应边和对应角,为证明找到正确的目标.例如一道题目中出现了“△A B C≌△D E F”（无论在已知中还是求证中）.由于点A对应点D,点B对应点E,点C对应点F,因此无需看图,直接就能迅速指出两个三角形的对应边和对应角.方法是先将其字母编号,如△ABC≌△DEF,再按“1,2”“1,3”“2,3”找出对应边为“AB等于DE,AC等于DF,BC等于EF”,按“123”“132”“213”（强调1、2、3各有一次在中间做角的顶点）找出对应角为∠ABC等于∠DEF、∠ACB等于∠DFE、∠BAC等于∠EDF,为观察图形和找出问题思路提供了很大的方便.

二、充分利用公理及推论的字母

表示形式去推理,培养学生解题的目标意识

三角形全等的证明有三条公理、一条推理,以及直角三角形特有的斜边、直角边公理,每一个公理及推论教材上都给出了表示形式,如SAS、ASA、SSS、AAS及HL.在学生理解了公理和推论的情况下,就可以利用题目中的已知边（角）迅速准确地确定要补充的边（角）,不致盲目而能有目标地完善三角形全等的全等条件.1.假如题目中已知两边,则记为“SS”,根据公理,推论的要求,要在两条边的中间补上一个角或一条边.再顺此思路继续探究、完善.2.假如题目中已知一边、一角,则记为“SA”,就应补充上另一个角或另一条边.

3.假如题目中已知两角,则记为“AA”,应补上一条边.并根据此三种情况画示意图：

⑴SS：S（A）S（即找其夹角）,S（S）S（即找第三边）；

⑵SA——（A）AS（即再找SA：（A）SA（即再找一对角）,SA（S）（即找角的另一邻边）；

⑶AA：AA（S）,A（S）A（即再任意找一对边）.

三、利用几何中“证明”的推理特征培养学生的思维能力

解决数学问题的过程,一般是从正面入手进行思考的,这是解决数学问题一种基本的思想方法.但是,有时会遇到从正面考虑比较复杂甚至无法解决的情况,这时若从问题的反面思考,或者逆用相关的数学关系,就可以顺利解决问题,而且解题步骤较简捷.这就是解决数学问题的另一种思考方法——逆向思维.

如几何证明中,往往从已知推出结论时比较困难,找不到头绪,无法下手,可以结论向已知推导分析,条理清楚,这时再顺着推理证明就得心应手了.经常采用逆向思维解题,有利于巩固数学知识,提高解题能力,发展智力.

四、注重探索结论,培养能力,联系实际

三角形全等的这些判定方法都是可以证明的,都可以作为定理,但是,这些定理（除边边边定理外）的证明方法都比较特殊.学生开始学习这些判定定理时,掌握定理的内容并不困难,困难的是定理的证明,而这些特殊的证明方法,通过画图和试验,使学生确信它们的正确性.探索两个三角形一定全等,总的发展脉络是三边,两边一角,一边两角,三个角,这样学生容易把握探索的过程.尽量排除人为安排的因素,呈现得更自然.学完三角形全等判定的方法,让学生将三角形全等的判定方法运用于直角三角形,得出直角三角形全等的判定的方法.对于满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形,不能运用三角形全等的判定方法进行判断,需要学生进一步实践探索.

在证明两个三角形全等的证明格式基础上,进一步介绍推理论证的方法,要求学生有理有据地推理证明,精炼准确地表达推理过程,是比较困难的.在教学中,要注意采取措施解决这个难点.

1.教学要遵循由简到繁、由易到难的规律,循序渐进

开始阶段证明方向明确,过程简单,书写容易规范化.这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式,然后逐步增加题目的复杂程度,小步前进,每一步都为下一步做准备,下一步又注意复习前一步训练的内容.特别是通过精心选择全等三角形的证明问题,能减轻学生学习几何证明的难度.

2.在不同的阶段,安排不同的练习内容,突出一个重点

每个阶段都提出明确要求,便于教师掌握.先让学生会证明两个三角形全等,然后安排通过证明三角形全等,证明两条线段或两个角相等的问题,从而熟悉证明的步骤和方法.在此之后,安排的问题设计以前学过的平行线等内容,重点培养学生分析问题、根据需要选择有关的结论证明的能力.

3.注重分析思路,让学生学会思考问题,注重书写格式,让学生学会清楚地表达思考过程

例如在“ 三角形全等的判定”一节,证明例1的结论“△A B D≌△ACD”以前,首先指出证题的思路：“要证△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.”师生共同思考：①由已知条件AB等于AC可知,这两个三角形有一对相等的边.②从图上看,AD既是△ABD的边又是△ACD的边,所以是这两个三角形第二对相等的边.③关键是第三对边BD,CD是否相等.由D是BC的中点可知,BD等于CD,它们是这两个三角形第三对相等的边.④边边边条件得到满足.因而△A B D≌△A C D.为了清楚地表达上述思考过程,引入“∵”“∴”符号及综合法证明的格式,把证明的过程简明地表达出来.

4.在“全等三角形”中,应举出实际例子讲解

这样做既可以使学生易于理解相关概念,又可以调动他们学习的积极性,用全等三角形可以说明实际测量方法的道理.教科书在例题和习题中安排了测量池塘两端的距离、测量河两岸相对两点的距离、用卡钳测量工件的内槽宽等内容,还安排了利用三角形全等测量旗杆高度.教学时应注意引导学生运用全等三角形解决这些问题.

上述四种方法要讲解清楚不难,且易于为学生所接受,学生一旦掌握,就能快速按时对应顶点的位置找到对应角、对应边,又能按已知的对应（角）边迅速准确补充需要的对应角（边）.这样做,学生学习几何的积极性会大大提高,并能为今后学习相似三角形打下坚实的基础.

（作者单位：558307贵州省平塘县西凉中学)

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