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数学解题教学应该注重通性通法
陈海东
（江苏省启东中学,226200）
摘 要：数学解题教学应该强调“多题一解”,注重通性通法.以
解决含有多个变量的问题、“含参数不等式恒成立（或能成立）问题”、求数列通项的问题的教学为例,说明：通性通法的教学价值是定向解题思路,教学策略是变式题组教学.
关键词：解题教学通性通法题组教学
解题教学是数学教学的重要课型.在教学中,有些教师比较青睐一题多解,欣赏灵巧解法.一题多解虽然有助于提高学生思维的发散性和灵活性,但是容易使通性通法被埋没,降低教学效率.灵巧解法不仅需要灵活地使用条件或巧妙地把握问题
,而且运用面较窄、影响面较小,从而导致学生听起来感到十分神奇,用起来很快就会淡忘.因此,我们更应该强调“多题一解”,注重通性通法.
一、通性通法的教学价值：定向解题思路
章建跃博士指出：“通性”就是概念所反映的数学基本性质；“通法”就是概念所蕴含的数学思想方法.由此,笔者认为,“通性通法”就是以基础知识为依据,以基本技能为依托,应用数学概念、定理、法则、公式等体现出来的通用基本性质解决问题的通用思想方法,它的思考方式通常合乎一般的思维规律,即“通用性质与通用方法”.
显然,通性通法不仅可以解决一道题,而且可以解决一类题.掌握了一类题的通性通法,再去解决这类题中的某道题时,就会有一个清晰的思路或明确的方向,可以避免盲目的摸索、试探,节省分析、求解的时间.
比如,解决含有多个变量的问题时,通常的思路是挖掘题目中的特殊条件、结构,把其中隐含的关系显化,运用这些相等或不等关系“消元减参”,转化为一元或二元问题.由此,遇到所求式中含有三个动点的问题“已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x等于8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且PC+12PQ·PC-12PQ等于0.若EF为圆N:x2+(y-1)2等于1的任一直径,则PE·PF的最大值和最小值分别为”时,就应该想到“消元减参”的解题思路,从而由PE·PF等于(PN+NE)·(PN+NF)等于PN2+PN·(NE+NF)+NE·NF等于|PN|2-1,将所求式化成只含一个动点P的形式.这样,接下来的解题方向就明确了：由PC+12PQ· PC-12PQ等于0,得|PC|2等于14|PQ|2；设P(x,y),则(x-2)2+y2等于14(x-8)2,即x216+y212等于1,得x2等于161-y212等于16-43y2,y∈［-23,23］；所以PE·PF等于|PN|2-1等于x2+(y-1)2-1等于 -13y2-2y+16等于-13(y+3)2+19,y∈［-23,23］,可得所求的最大值和最小值分别为19、12-43.
二、通性通法的教学策略：变式题组教学
显然,通性通法应该从多个问题解法的分类整理、归纳总结中获得.教学中,教师应该对典型例题进行适当的改造、变换、引申、拓展（一题多变）,以表象的改变凸显实质的不变,引导学生对原来的问题进行深入周密的思考,由表及里、由此及彼,探索问题的实质,发现解题规律,触类旁通、举一反三,归纳总结通性通法.
比如,解决“含参数不等式恒成立（或能成立）问题”的通性通法是转化为“函数最值问题”.其常见的转化策略一是不分离参变量,将不等式变形成“f(x)≥0”或“f(x)≤0”的形式,从而将问题转化为fmin(x)≥0或fmax(x)≤0；二是分离参变量,将不等式变形成“m≥g(x)”或“m≤g(x)”的形式,从而将问题转化为m≥fmax(x)或m≤fmin(x).对于具体问题,究竟采用哪种方法,可以根据不等式的结构特征进行选择.教学中,便可以通过如下的“一题多变”,揭示相同背景下问题的解题过程,引导学生体悟理解通性通法.
问题1已知函数f(x)等于x3-32ax2+4,若x∈［1,2］,恒有f(x)>0,求正实数a的取值范围.
变式1-1若x∈［1,2］,使得f(x)>0,求正实数a的取值范围.
变式1-2设g(x)等于ax2+4,求下列条件下正实数a的取值范围.
（1）x∈［1,2］,恒有f(x)>g(x)；
（2）x1∈［1,2］,x2∈［1,2］,恒有f(x1)>g(x2)；
（3）x1∈［1,2］,x2∈［1,2］,使得f(x1)>g(x2)；
（4）x1∈［1,2］,x2∈［1,2］,恒有f(x1)>g(x2)；
（5）x1∈［1,2］,x2∈［1,2］,使得f(x1)>g(x2).
变式1-3（2014年江苏高考数学卷第19题改编）已知函数f(x)等于ex+e-x,若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.
这里,问题1是不等式恒成立问题,变式1-1是不等式能成立问题,形式不同,但都可以转化成函数最值问题.变式1-2则是在相同背景函数下“双函数双变量”的既有“恒成立”又有“能成立”的问题.变式1-3则是改变背景函数,提升变形难度的不等式恒成立问题.这些变式,依据内容的逻辑顺序,考虑学生的接受能力,由浅入深、由简到繁,一步一步地引导,不断加强学生对这类问题通性通法的认识、理解、掌握.
再如,解决求数列通项的问题的通性通法是对已知递推关系式适当变形,构造等差（比）数列.对于具体问题,究竟如何变形,比较灵活,可以根据递推关系式的结构特征进行选择.教学中,便可以通过如下的“一题多变”,揭示不同背景下问题的解题策略,引导学生归纳总结本质的、普遍的通性通法.
问题2设f(x)等于x2+4,a1等于1,an+1等于f(an),求数列an的通项公式.
变式2-1设f(x)等于(x+2)2,a1等于2,an+1等于f(an),求数列an的通项公式.
变式2-2若a1等于2,an+1等于an2an+2,求数列an的通项公式.
变式2-3若a1等于4,an+1等于2a2n,求数列an的通项公式.
变式2-4若a1等于1,a2等于2,an+2-2an+1+an等于2,求数列an的通项公式.
变式2-5设数列an的前n项和为Sn,且满足a1等于12,an+1+2SnSn+1等于0,求数列an的通项公式.
这里,6个问题是一组总体思路相同、具体策略不同、解决难度相近的问题.问题2的解题策略是平方构造：由an+1等于a2n+4,两边平方得a2n+1-a2n等于4,所以数列a2n是以1为首项、4为公差的等差数列.变式2-1的解题策略是开方构造：由an+1等于(an+2)2,两边开方得an+1-an等于2,所以数列an是以2为首项、2为公差的等差数列.
变式2-2的解题策略是取倒数构造：由an+1等于an2an+2,两边取倒数得1an+1-1an等于12,所以数列1an是以12为首项、12为公差的等差数列.
变式2-3的解题策略是取对数构造：由an+1等于2a2n,两边取对数得
lgan+1等于2lgan-lg2,由待定系数法变形为lgan+1-lg2等于2(lgan-lg2),所以数列{lgan-lg2}是以lg2为首项、2为公比的等比数列.
变式2-4的解题策略是拆项分解构造：由an+2-2an+1+an等于2得(an+2-an+1)-(an+1-an)等于2,所以数列{an+1-an}是以1为首项、2为公差的等差数列.
变式2-5的解题策略是公式变形构造：由an+1等于Sn+1-Sn等于-2SnSn+1,两边除以SnSn+1得1Sn+1-1Sn等于2,所以数列1Sn是以2为首项、2为公差的等差数列.
由此,很容易启发学生归纳总结出相通的地方,得到解决求数列通项的问题的通性通法.
参考文献：
［1］ 章建跃.注重通性通法才是好数学教学［J］.中小学数学（高中版）,2011（11）.
教学论文范文结:
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