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导数在经济学中的应用

刘君泽

（中北大学, 山西太原 030051）

【摘要】作为高等数学的基础,在经济学中也有广泛重要的作用.本文借用典型例子以导数为基础,初步介绍其在边际分析、弹性分析方面的应用,详细讨论了导数在经济分析问题中的最优化应用.

【关键词】导数；经济学；边际分析

1.导数的概念

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念.当函数y等于f(x)的自变量x在一点xo上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在xo处的导数,记作f′(xo)或df(xo).

2.导数概念的经济学解释

f′(xo)实际上刻画了函数ｙ等于f(x)在x0的变化率,当自变量在xo处有一个单位的变化,则函数ｙ等于f(x)在f(xo)处有f′(xo)个单位的变化.

假设市场上某种商品的需求函数为ｄ等于ｄ(P),其中P为商品的,ｄ为市场上该商品的需求量.ｄ′(Po)表示当在Po处有一个单位的变化,则该商品的需求量将会有ｄ′(Po)个单位的变化.同样对于供给函数、总成本函数总收入函数、总利润函数等函数导数意义的理解,都可以仿照,这里就不一一展开说明了.下面以一例具体解释其意义.

3.分析

边际成本的定义是产量增加一个单位时所增加的总成本.现假设产品数量是连续变化的,于是单位产品可以无限细分.如果产量已经是x在此水平上若产量从x增至x+x,那么总成本c(x)相应的增量是△c等于c(x+x)-c(x),它与△x的比为

这表示在x和x+x之间总成本的平均变化率.若令,取极限就可以得到边际成本

显然,它近似地表示若已经生产了x个单位产品,再增加一个单位产品总成本的增加量.同样道理我们可以利用导数定义边际收入、边际利润、边际需求等.

4.导数在最值问题上的应用

4.1最小平均成本问题

例:已知某个企业的成本函数C等于qo-9qo+30q+25,其

中C-成本（单位：千元）,q-产量（单位：吨）.求该企业生产多少吨产品时所需费用最少（即平均可变成本最小)？

解：平均可变成本

解得Y′等于2q-9.令Y´等于0,得q等于4.5吨.此时Y">0,所以q等于4.5时,Y取得极小值,由于是唯一的极值,因此就是最小值,即Yo等于4.5o-9×4.5+30等于9.75.因此,该企业产量为4.5吨时,所需费用最少,即平均可变成本取得最小值9750元.

4.2最大利润问题

企业生产的主要目的之一就是获取利润,而利润函数L(x)等于R(x)-c(x)被称企业日标函数.（R(x)为总收入函数、c(x)为总成本函数).为了求出使利润最大的产出水平,首先,必须满足最大值的必要条件：一阶导数L′(x)等于0,求L′(x)等于0,即R′(x)等于c′(x)其次,还必须满足最大值的充分条件:当L′(x)等于0时,L"(x)<0,即R"(x)<c" (x).在经济学上意味着：当产出水平满足R′(x)等于c′(x)时,若R′(x)的变化率小于c′(x)的变化率,这时产出水平使利润最大.

4.3最佳批量问题

在销售管理中,有一个“最佳批量”的决策问题.一般而言,生产厂家或销售公司要维持正常的生产和销售,必须储备一定的产品和商品,但库存量一定要适度,库存太多,会造成资金积压或货物过期；库存太少,又会出现供不应求,失去时机.因此管理者必须确定物资的库存量,即何时补充库存,应该补充多少等.对于这个问题也可用导数加以解决.

结语

导数在经济学中的应用颇为广泛,本文只是略举一二,如果能够将数学作为分析工具应用到经济问题中去,不但可以提供准确的数字作为参考,同时也能给企业提供更多的思路和见解,这也是数学作为一门基础学科的实际应用的具体体现.

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