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让每一位学生都成长为优秀的屠夫全景式数学教育视野下解决问题教学例谈
摘 要：该课是全景式数学教育中解决问题的一个经典案例.它采用大模块、低结构的组织教学方式,让节课围绕“爷爷用栅栏围了一个小菜园”这个一个核心事件进行追问和想象.学生通过近20次的主动追问,还原了该情境涉及到的各种实际背景内容,并独立完成了各种背景下相应的解决方案,把一道题做成了一个“如何圈地”的项目课程.用精彩的过程演绎了全景式数学教育是如何教育学生全景底思考和解决问题,如何培养学生成长为优秀的“屠夫”的.
关键词：解决问题；追问；长方形和正方的周长；长方形和正方形的面积；屠夫
“高分低能”、“解决实际问题的能力较弱”一直是很多人对数学教育的诟病.这种现象形成的原因,除了大的教育环境、教和学的方式等方面的问题,教材中对“问题”背景的“过于提纯、约束和典型化”也是主要原因之一.
小学数学绝大多数内容属于应用数学范畴.《文汇报》2002年8月21日摘 要刊出钱伟长的《哥丁根学派的追求》,其中提到：“应用数学的任务是解决实际问题,不是去完善许多数学方法,我们是以解决实际问题为己任的.从这一观点上讲,我们应该是解决实际问题的优秀‘屠夫’,而不是制刀的‘刀匠’,更不是那种一辈子欣赏自己的刀多么锋利而不去解决实际问题的刀匠.”
但是,现实的状况是：现行小学数学教材中,编排的“解决问题”却普遍存在着侧重以培养“刀匠”为目的的问题——教材为了便于学生理解,集中、高效地学习数学知识,编排的很多内容都过滤掉了很多所谓“对数学无用”的芜杂信息,涉及的生活内容、实际情境不完整、不全面,和真正、原态的生活问题相去甚远.使得学生很快理解掌握了数学的知识,成为优秀的“刀匠”,却不善“解牛”,没有成为优秀的 “屠夫”.
“全景式数学教育”主张“在整个原始森林中发现和研究那一棵树” ,在解决问题的教学中力图完整、全景地还原问题涉及到的各种实际背景内容,让学生在完整、原态的情境中解决问题.力争让孩子成为优秀“刀匠”的同时,更成长为优秀的“屠夫”！
下面以“一道题”的全景教学为例,来聊聊“全景式数学教育”是如何培养“屠夫”的.
2016年6月底,我给广州番禺区的老师们上了一节长时段的复习课：“长方形的面积”.这节课就是从学生追问和“完整”该问题的现实背景开始的.孩子们一口气追问了18个极富思考和研究价值的问题！（好的数学课堂一定不是“只学答,非学问”2的课堂,而是学生不断追问的课堂）.当时,很多听课的老师都用“震撼”一词来形容这帮三年级小屁孩的表现！
这一节课只解决了一道题：“爷爷用栅栏围了一个小菜园”.
推出情境后,我点燃了第一根导火索：“从数学的角度你要追问什么？”
学生第一次追问数量：“用了多长的栅栏？”
我公布：“16米.”
学生第二次接着发表意见：“还要追问形,到底围成了一个什么形状的菜园？”
我激励：“你猜！”
学生：圆形、三角形、长方形、方形、不规则的图形……全景地想到了各种可能的形状,这已经打破了书上所学图形的限制.
我定向：“爷爷围成的菜园是一个方形.”
学生第三次追问：“围成的这个菜园的面积是多少？”（我趁机完整了问题）
接着学生又进行了第四次追问：“靠不靠墙？”
我反击：“靠不靠墙是从数学角度进行追问吗？”
学生非常坚定：“是！是从数量的角度追问.因为靠墙可以省出篱笆,围更多的面积（其实,不一定的）.”
关于靠墙,学生又想全了4种靠墙的情形：靠1面墙、2 面墙、3面墙和4 面墙.
绝大多数同学否决了靠四面墙的想法.说：“四面都有墙,就不用围了.
”吴昌城同学石破天惊：“四面都有墙,也可能需要围！”他指出了这种情况：
立马又有孩子接道：“是不是还会有这样的情况……”
然后,学生通过分类研究,关于长度问题很快达成了一致意见：
不靠墙：16米是周长,即方形的4边之和.
靠墙：16米不是周长.靠一面墙,16米是3边之和；靠两面墙是2边之和；靠三面墙则是1边之长.
我们准备从没墙的开始研究,这时,学生第10次追问：“各边是整米数吗？如果不是整米有很多很多围法.”
我再次限定：“是整米数.”
他们有序地研究了不靠墙,所有的方形；靠一面墙,所有的方形；靠两面墙,所有的方形.见下图：
靠三面墙,同学又联想到3种情况（栅栏正好够围、栅栏剩余、栅栏不够围）：
这说明学生已经深思到平行两面墙的间距与栅栏的关系.
更让人惊喜的是,吕墨梓涵同学又指出：“正好够围的这种情况,围的方法也有无数种.” 全班哑然,连我也没明白她是这样想的. 看无人明白,她很得意、很自信底用图进行了说明：
而且解说到：“栅栏可以从最面开始围,开始贴着墙围的面积是0,往外移一点,围的面积就大一点,一直到最外面,竖着的两面墙越长围的面积就越大.”
学生彼此启迪,互相激发,此时,已经刹不住车啦.又有孩子进行了第16次追问：“不靠墙围,栅栏重叠吗？如果重叠,重叠了多少米？”
更让人脑洞大开的是,王子豪在后续的研究中又提出第17次追问：“栅栏可不可以同时在墙的两侧去围？”
同学第18次质疑：“人家说了是一个菜园啊,你那不成两个菜园了吗？”王子豪反击：“在墙上开一个洞,不就成了一个菜园了吗？”
孩子的表现让我非常激动,顺手写到：这哪里是“墙洞大开”啊,分明是“脑洞大开”,只要你敢于畅想,你会发现无数情况、一切皆有可能.
在学习总结的时候,我又激励学生说：“你们真了不起！想到了连老师都没有想到的情形.到了六年级你们将学习和解决围成圆形的问题,到高中你就能解决围成椭圆的问题,到大学你就能解决围成任意样子的问题（为以后的学习埋种子）.
老师们,这表面是一个题,实际是几十道题、几百道（甚至是无数道题）,其实是一个“如何圈地”的项目.测量土地面积本身就是几何产生的源头.我们班三年级的学生通过18次的连续追问、畅想到了各种实际背景,几乎穷尽了圈地问题的所有模型,又为未来的学习也埋下了种子.
我深信,长期这样学习的孩子,一定能在扎实掌握基础知识的同时,也能具备全面、深刻、创造性地思考问题、解决的意识和能力,一定能成长为核心素养深厚的卓越“屠夫”.
（责编 金玲）
1“全景式数学教育”是张宏伟于2013年底提出并践行的,一种以培养全人为目标,以研究项目为单元,以建设更为全面、完整和跨界的综合性数学课程为核心,进行全景式多样化、自主性学习的一种数学教育方式.简称PME（Panoramic全景,Mathematics数学, Education教育）.2“只学答,非学问”,这是中外教育最大差距——中国核物理学家、中科院院士杨福家,2016-7-23在上海奉贤中学的演讲.
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