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把握教材理念，回归数学本质《从问题到方程》教学实践和

摘要：教学《从问题到方程》一课时,基于体现教材理念、整合教材内容、彰显数学本质、突出学生主体的思考,设计“体会用方程描述相等关系的优越性”“经历用方程描述实际问题中的相等关系的过程”“形成、巩固一元一次方程的概念”“回顾总结”等环节.

关键词：教学设计从问题到方程教材理念数学本质

最近,笔者参与了“苏科版初中数学教材数字化助教资源建设项目”课题的研究工作,在江苏省教研室董林伟主任（苏科版初中数学教材主编）等专家的指导下,录制了七年级上册《4.1从问题到方程》一课的教学过程.下面简要呈现这节课的教学过程,并谈谈笔者的教学思考.

一、教学过程

(一)体会用方程描述相等关系的优越性

师在许多实际问题中通常有已知的量和未知的量,这些量之间常常有相等关系.

（教师出示问题1：如图1,天平左盘中有两个相同的小球和一个1g的小球,天平右盘中有一个5g的砝码.怎样描述天平平衡所表示的数量之间的相等关系？）

师天平平衡意味着什么？

生左边（质量）等于右边（质量）.

师怎样具体描述这一相等关系？

生左盘中3个小球的质量等于右盘中砝码的质量.

生左盘中两个相同小球的质量+1g小球的质量等于右盘中5g砝码的质量.

生（兴奋,抢答）2x+1等于5.

师x哪来的？

生设来的.

师x表示什么？

生未知数.

生两个相同小球中的一个的质量.

师2x+1等于5表示什么？

生题中所要描述的相等关系.

师不错,设了未知数x,原来用文字语言描述的相等关系就可用2x+1等于5这样的符号语言描述.哪种描述更简明？

生方程.

［设计意图：创设用天平称小球的实际问题,让学生从天平平衡的直观形象中直接获得相等关系,同时感受方程是表达相等关系的“天平”,从而有效激发学生的学习兴趣,提升学生的理解程度.鼓励学生运用不同的方式描述天平平衡所表示的数量之间的相等关系并作比较,体会方程的优越性.］

（二）经历用方程描述实际问题中的相等关系的过程

1.寻找实际问题中的相等关系——体验“从问题到方程”的关键.

（教师出示问题2：篮球联赛规则规定：胜一场得2分,负一场得1分.某篮球队赛了12场,共得20分.怎样描述其中数量之间的相等关系？）

师请你先猜一猜：该队胜了多少场？

生8场.

师怎样描述其中数量之间的相等关系？

生胜场得分+负场得分等于20.

师设该队胜了x场,你能用方程描述相等关系吗？

生2x+(12-x)等于20.

师很好！设胜了x场后,就可以用2x和12-x分别表示“胜场得分”和“负场得分”,也就得到了方程.

（教师出示问题3：把一块面积为1200平方米的长方形绿地分割成如图2所示的正方形和长方形,求正方形的边长.）

师这里的相等关系是什么？

生正方形的面积+小长方形的面积等于大长方形的面积.

生（抢答）大长方形的长×宽等于大长方形的面积.

师不错！同学们很善于观察、思考.如果设正方形的边长为x米,你能用方程描述相等关系吗？

生x2+10x等于1200.

生x（x+10）等于1200.

师这里,利用图形的特征不难得出相等关系,可以从不同角度思考,找到不同的相等关系,得到不同形式的方程,而它们的本质是一样的.

［教师出示问题4：（我国古代数学问题）以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺；若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?］

师你能找出题中的相等关系吗？

（学生先独立思考,再小组交流.教师巡视指导.）

师通过交流,请小组代表板书你们所列的方程.

生（小组代表,板书）3(x+4)等于4(x+1).

生（组内成员,提示）设井深x尺.

师你能讲讲是怎么思考的吗？你找出的相等关系是什么？

生（小组代表）设井深x尺,按照第一种测法,绳长等于（x尺+4尺）×3；按照第二种测法,绳长等于（x尺+1尺）×4.所以,（x尺+4尺）×3等于（x尺+1尺）×4,也就得到了方程3(x+4)等于4(x+1).

师太棒了！你可以当小老师了！这里,设井深x尺,利用绳长不变找到了相等关系.还有不同的思考吗？

生设绳长x尺,利用井深不变也可以找到相等关系.

师你能列出方程吗？

生（板书）1/3x-4等于1/4x-1.

师其他同学看懂了吗？

生懂啦！设绳长x尺,按照第一种测法,井深等于1/3×x尺-4尺；按照第二种测法,井深等于1/4×x尺-1尺.所以,1/3×x尺-4尺等于1/4×x尺-1尺,方程就是1/3x-4等于1/4x-1.

师回答得非常好！设不同的未知数,抓住“绳长不变”或“井深不变”,就有不同的相等关系,得到不同的方程.所以,“从问题到方程”的关键是找到相等关系.

［设计意图：设

计由易到难的问题,符合学生的认知规律,让学生逐步体会方程是刻画现实世界中相等关系的有效模型.引导学生正确审题,感受“从问题到方程”的关键是找到相等关系.鼓励学生多角度思考,找寻不同的相等关系,列出不同的方程,发散思维,深入理解.］

2.用方程描述实际问题中的相等关系——体验“从问题到方程”的步骤.

（教师出示问题5：某班学生39人到公园划船.每只大船可坐5人,每只小船可坐3人.他们共租用了9只船.每个人都上了船且每只船都坐满了.你能找出其中的相等关系吗？）

生大船坐的人数+小船坐的人数等于39.

师如果设租了x只大船,怎样用方程描述？

生5x+3(9-x)等于39.

师如果设租了x只大船、y只小船,可得什么方程？

生5x+3y等于39.

师很好！这里,相等关系不变,未知数设法的不同导致了方程形式的不同.

（教师出示问题6：小明与小丽共同清点一批图书,已知小明清点200本图书所用的时间与小丽清点300本图书所用的时间相同,且小丽平均每分钟比小明多清点10本图书,求小明平均每分钟清点图书的数量.）

师可以用怎样的方程描述这个问题中数量之间的相等关系？

（学生先独立思考,再小组交流.教师巡视指导.）

生设小明每分钟清点x本图书,可列方程200/x等于300/（x+10）.

师你是怎样思考的？

生题中的“小明清点200本图书所用的时间与小丽清点300本图书所用的时间相同”给出了相等关系.

师很好！题中有两个关键词,即“时间相同”“多清点”,也就有两条“线索”.设小明每分钟清点x本图书,利用“多清点”得到小丽每分钟清点（x+10）本图书,再利用“时间相同”得出方程.“从问题到方程”要先仔细读题,弄清已知量和未知量,找到相等关系,再设未知数,列方程.

［设计意图：让学生经历“从问题到方程”的一般过程,引导学生厘清“从问题到方程”的一般步骤,帮助学生形成知识体系,培养归纳整理的能力.引导学生列出不同形式的方程,为后续学习不同类型的方程做铺垫.］

（三）形成、巩固一元一次方程的概念

1.观察、分类,归纳形成一元一次方程的概念.

（教师出示：①2x+1等于5；②2x+(12-x)等于20；③x2+10x等于1200；④3(x+4)等于4(x+1)；⑤13x-4等于14x-1；⑥5x+3(9-x)等于39；⑦5x+3y等于39；⑧200/x等于300/（x+10）.）

师观察上述问题中的方程,它们各有哪些特点？你能将它们分分类吗？

（学生先独立思考,再小组交流.教师巡视指导.）

生⑦中有2个未知数,其他都只有1个未知数.

生③中未知数的次数是2次,其他都是1次.

师⑧中未知数的次数也是1次吗？该方程两边是整式吗？

生⑧中方程两边不是整式,不好说它是1次.

师有道理！同学们分别按照未知数的个数和次数,将上述方程进行了分类.按未知数的个数,分为一元、二元；按未知数的次数分为一次、二次.我们先来认识最简单的一元一次方程：像①②④⑤⑥这样,只含有一个未知数,且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程.

2.举例、辨析,应用巩固一元一次方程的概念.

师你能再写出一些一元一次方程吗？

（学生举例,相互交流.）

师下列方程哪些是一元一次方程?

（教师出示：①x-２＝2/x；②0.3x等于1；③x/2等于5x-1；④x/2-4x等于3；⑤x等于6；⑥x+2y等于0.学生辨析.）

［设计意图：通过观察方程特点并分类整理,归纳形成一元一次方程的概念,培养学生抽象概括的能力.通过举例、辨析活动,应用巩固一元一次方程的概念,培养学生具体分析的能力.］

(四)回顾总结

教师出示问题：（1）怎样用方程描述实际问题中数量之间的相等关系？它的关键是什么？（2）你在学习的过程中遇到了哪些困难？有什么感触？（3）你能结合自己的生活经历,赋予方程2x+1等于5实际意义吗？然后组织学生交流,同时边倾听、边评价.

［设计意图：引导学生回顾总结前面的学习过程,明确知识要点,培养良好习惯,提高思维水平.让学生编题的意义在于,进一步应用巩固所学知识,培养思维的开放性、灵活性,同时体会数学来自于生活,应用于生活,深刻感受方程是刻画现实世界中相等关系的有效模型.］

二、教学思考

(一)体现教材理念

苏科版初中数学七年级上册第一章《数学与我们同行》安排了“生活数学”和“活动思考”两节内容.它总领全套教材,揭示了整套教材的设计理念：以“生活数学”和“活动思考”为主线展开整个初中学段的课程,注重体现生活与数学的联系,为学生提供看得见、听得见以及感受得到的素材；注重创设轻松愉快的数学情境,充分调动学生学习的积极性和主动性,引导学生在活动中思考、探索,主动获取数学知识,促进学习方式的改变.

本节课是按照“呈现丰富的问题情境—探索实际问题中的相等关系—用方程描述”这样的“生活—数学”观设计的,所有的问题来于生活、归于生活,使学生在不知不觉中感悟数学的真谛.此外,教学中,还尽量为学生提供“做”数学的机会,引导学生自主探索、合作交流,鼓励学生从不同角度探索实际问题中的相等关系并用方程描述,进而通过观察、分类等活动,归纳形成一元一次方程的概念,从而逐步积淀、感悟数学学习的方法.

(二)整合教材内容

具体教学中,教师不能被教材的外在内容所迷惑,完全按照教材的编排展开教学（“教教材”）,而要弄清教材的内在意图,灵活整合教材内容（“用教材教”）,从而契合学生的认知规律,促进学生的思维发展.

本节课最初的教学设计是：按照教材的内容体系,选取几个实际问题,引导学生列出一些一元一次方程,进而发现它们的共同特点,归纳形成一元一次方程的概念；然后选取不同形式的方程（包括初中学段其他形式的方程）,让学生辨析.对此,董主任指出：“《从问题到方程》这节课的重点是“到”,而不是方程的形式.这样设计,其他形式方程的出现是不是有一点突兀？”笔者得到启发：与其直接给出其他形式的方程,不如让学生自己“创造”出这些方程.于是,笔者加入了问题3、问题5的追问、问题6,引导学生列出其他形式的方程,进而发现方程的不同特点,在分类的基础上归纳形成最简单的一元一次方程概念.这样,学生一气呵成地经历了“从问题到方程”的过程,不仅获得了本节学习的核心知识,而且初步搭建了后续学习的认知框架,从而有利于思维的整体建构.

(三)彰显数学本质

数学教师要具有正确的数学观和数学教育观.具体来说,就是要理解数学的本质,认识数学知识背后蕴涵的观念和思想,挖掘相关资源,从而改变学生观念,发展学生智慧,实现育人目标.

本节课的第一个环节聚焦用方程描述相等关系的优越性,让学生体会为什么要学方程.第二个环节聚焦用方程描述实际问题中的相等关系的过程（即“到”的过程）,引导学生吃透问题背景,理清有关的数量关系,找出可以作为列方程依据的主要相等关系,体会“找相等关系—设未知数—列方程”（即“找、设、列”）的一般步骤.让学生在自主探究、合作交流中细细品味方程的价值和“从问题到方程”的思想方法,初步体会方程是刻画现实世界中相等关系的有效模型,形成建立方程解决实际问题的意识.

(四)突出学生主体

“学生主体”是指,在教学中,学生是主动获取知识的主体,而不是被动接受知识机器.因此,教师要鼓励学生自主探究、合作交流,重视学生思考和实践的过程和体验.具体来说,应以学生的已有知识和经验为基础,遵循学生的学习心理,设计丰富的教学活动,运用适当的引导策略,激发学生的学习兴趣和潜能,充分调动学生多感官参与学习,引发学生的数学思考和实践,有效帮助学生理解数学知识、掌握数学技能、感悟数学思想、积累数学经验.

本节课中,笔者给了学生充分的时间与空间,让学生参与阅读、思考、抽象、建模、观察、分类、举例、辨析、归纳、应用、交流、互动、回顾、总结等数学学习活动,经历了比较完整的数学学习过程.此外,笔者通过适时的组织、帮助、引导、点评等,参与学生学习的全过程：在学生思维受阻时,帮助学生搭建“脚手架”,指点迷津；在学生思维活跃时,引导学生多角度思考,拓展思维,从而促使学生逐步实现由“学会”到“会学”再到“乐学”的转变.

参考文献：

［1］吴增生.方程起始课教学怎样实现高立意?［J］.中学数学教学参考（中旬）,2016(1~2).

［2］曹建军.落实“学为中心”教学目标的教学设计——以“同底数幂的乘法”助学单的编写为例［J］.中学教研(数学),2017(1).

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