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小学五年级学生问题解决中几何直观能力的水平
［摘 要］问题是数学的心脏,问题解决是数学学习的本质特征,几何直观是解决数学问题的重要方式,利用图形去分析和描述问题,实现问题的直观化表示是问题解决的重要途径.由问题解决和几何直观的含义入手,分析得出小学五年级学生运用几何直观进行问题解决时存在感知、理解、把握和推理四个水平.
［关键词］问题解决；几何直观；存在性
［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（201８）０8-0010-0３
一、问题解决的含义
数学家哈尔莫斯说：“问题是数学的心脏.”数学之所以成为锻炼人们思维的“体操”,就是因为它总是不断地提出问题和解决问题.数学问题解决（ProblemSolving）或称解决问题,是指利用某些方法和策略,使个人从初始状态情境达到目标状态情境的过程.数学问题解决过程是一个连续进行数学思维的过程：首先是引发问题,问题是在一定的情境中引发的,并且对学生来说要具有一定的思考价值；其次是解决问题,情境所引发的问题按照一定的目标,应用各种认知,经过一系列的思维操作,使问题得以解决.
问题解决是数学学习的本质特征.我国基础教育数学课程改革非常重视学生问题解决能力的培养,把问题解决（解决问题）作为义务教育阶段数学课程目标之一,并提出要培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,即通常所说的“四能”.数学问题解决的宏观过程为：问题情境→转换→寻求解法→求得解答.在转换和寻求解法环节,几何直观被认为是常用的方法和手段.
二、几何直观的含义
直观是指人用感官直接接受的、直接观察的,即人们接触事物时,借助于经验、观察、想象等产生的对事物及其关系直接的感知与认识.从狭义上理解,直观是视觉化、形象化的,是通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识.几何直观主要是利用图形来描述和分析问题,也就是通过图形获得的对所研究问题的数量关系和空间形式的视觉化的、形象化的认识.
20世纪最伟大的数学家希尔伯特在名著《直观几何》一书中说道：“图形可以帮助我们发现和描述研究问题,能帮助我们寻求解决问题的思路,可以帮助我们理解和记忆得到的结果.”几何直观是数形结合思想的体现,通过图形的直观性质,可以阐明数与数之间、形与形之间、数与形之间的关系,实现代数问题与图形之间的互相转化和相互渗透,把抽象的数学问题具体化和形象化,是探求数学问题的重要途径.正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所言：几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的,并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦.
三、几何直观能力水平的划分
布鲁姆（B.Bloom）、克拉斯沃尔（D．R．Krathwohl）等是较早研究教学目标分类的学者,他们在借鉴生物学动植物分类方法的基础上,创立了目标分类理论.其中,认知目标分成识记、领会、应用、分析、综合及评价六种水平.我国义务教育数学课程标准将课程目标分为知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度；另外,从学习角度出发,课程标准又将课程目标分为结果性目标和过程性目标.结果性目标分为了解、理解、掌握、运用四个水平；过程性目标用体验、经历、探索等动词来描述,显然也存在水平差异.
艾伦·霍弗（AlanHoffer）研究了几何课程中的认知情况,指出其中存在5方面技能：视角方面技能、语言方面技能、绘图方面技能、逻辑方面技能、应用方面技能.这5方面技能对应着5种能力,即视角技能→直观能力、语言技能→口头表达能力、绘图技能→画图能力、逻辑技能→逻辑能力、应用技能→运用能力.显然,Hoffer所提出的几何中的技能既是从不同角度去认识的,同时又有水平划分.
几何直观是学生运用实物、符号、图形描述问题,以及认知数学问题的能力.几何直观存在不同的形式,可以划分为不同水平.以布鲁姆认知分类目标理论和我国义务教育阶段性结果目标水平的划分为基础,根据几何直观的内涵,结合Hoffer对几何中的技能水平的划分,可以将几何直观能力水平划分为感知、理解、把握、推理四个水平,建构如下分析框架.
四、问题解决中几何直观能力水平的存在性
1.测试工具
自编《几何直观能力水平测试卷》,对问题解决中几何直观能力水平的存在性进行分析.初试卷由4个问题组成,每题5分,共20分,要求学生在20分钟内完成.第1题是通过画图理解实际问题中的分数,第2题是通过图形模式去描述整数的运算,第3题是对运算法则的深入理解,第4题是对数据的分析与描述.前三题是数与代数领域的内容,明确要求画图说明,第4题是统计与概率内容,要求用统计图表去描述和解决问题.试卷编制过程中,特别邀请了一线教师和研究员进行编制和修改,以确保试题的效度.
2.工具的信度
试卷编制完成后,对重庆市某区小学五年级60名学生进行预测,并邀请参与试卷编制的一位小学数学教师统一评分,然后利用SPSS.20对数据进行分析处理.各测试题中,学生的平均得分和对应的标准差见表2.
在利用SPSS.20进行信度分析时,先在模型框选择Cronbach´sAlpha系数,即α系数,然后在各题项之间选择相关系数,置信区间和检测值选择系统默认值,就得到各题项的相关系数（如表3）：
测试卷的Cronbach′sAlpha系数为0.670,基于标准化项的Cronbach′sAlpha系数为0.693.从表3可以看出,第2题与第3、4题的相关性较低.第2题是有关分数的认识,测试学生运用图形直观描述分数的能力.从初试情况看,学生都能通过实物直观建立实物与学习对象的对应关系,说明学生都能达到几何直观的感知水平,把该题编入测试卷意义不大.删去该题,重复上述过程,计算出由第1、3、4题组成的测试卷的系数为0.788,基于标准化项的系数为0.818,这样的测试卷信度较好.
3.测量结果
正式测试对象为重庆某区小学五年级学生（105人）,其中城市学生60人,乡镇学生45人.为了减少测试卷对学生的影响,我们把测试内容编入学生的单元测试中,让学生在正常的课堂状态下进行测试,测试题在单元测试卷中处于计算题的第2、3、4题.学生运用直观化策略解决各问题的主要方法统计如下：
4.分析与讨论
问题解决时必须理解问题情境中的具体关系,才能选择适合的图形去表示,这一能力水平称为几何直观的理解水平.例如第2题是考查学生对整数及运算法则的理解,通过画图,把客人数和所需要的不同的桌子数直观表示出来,体现了学生的思维过程.从统计情况看,小学5年级学生基本上都能达到这一水平.
第3题是考查学生对小数和小数运算法则的理解和描述.分析测试结果后发现,主要存在两种情况：第一种是只运算,没能画图,这样的学生有43人,占41%；第二种是通过画线段图来表示,这样的学生有62人,占59%.画线段图时,有的学生能画出整数部分,也有的学生能画出小数部分,但都没能正确用线段图表示运算法则.在问题解决中,必须把握具体情境中数学对象的几何属性,只有掌握了对象的几何属性,问题解决时才能正确进行直观表示,这一能力水平我们称之为几何直观的掌握水平.从测试情况看,只有一半的学生达到该能力水平,造成这个现象有两个方面的因素：一是小学数学教材通常是让学生通过单位换算去认识小数的,如人民币1元5角可以表示为1.5元,从而引入小数,缺乏引入小数必要性的介绍以及怎么理解小数的直观表示；另一方面是由于学生之前已经学习了分数,教师往往只强调运算而忽视对算理的直观表示.
统计与概率这一题没有明确要求学生用画图的方式对问题进行描述,但学生必须运用统计表或是统计图对数据进行描述,然后回答问题.学生解决问题的方法主要有三种：一是放弃回答,有20人,占19%；二是通过观察数据,选择身高比较接近的5人作为答案,采用这种方式回答的有73人,占69%；三是没有列表,但进行了分段统计,具备用统计表描述问题的思想,采用这种方法描述问题的有12人,占11%.运用几何直观进行推理,是几何直观的推理水平.从测试结果看,虽然学生已经学习了统计表和条形统计图,但缺乏运用统计表和统计图描述数据、分析问题的意识,主要是因为课程标准对该部分的要求是给定统计表和统计图后能完成相应的问题,因此教材都是直接给出统计表和统计图,这让学生难以体会到运用统计表和统计图去描述问题的必要性.
在范希尔（VanHiele）夫妇提出几何思维模式后,学者们对几何思维从不同层面进行了研究,虽然不同学者对几何思维水平的划分不尽相同,但都证实了几何思维水平层次的存在性.布格（Burger）和桑尼斯（Shaughnessy）认为“数学思维既是连续的,也是动态变化的,每一个水平都取决于对前一个水平的掌握”,证实了小学生问题解决中几何直观水平的存在性,学生运用几何直观进行问题解决时存在感知、理解、掌握和推理四个水平.
［参考文献］
［1］喻平.数学教学心理学［M］.北京：北京师范大学出版社,2010.
［2］教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社,2012.
［3］安德森著.布卢姆教育目标分类学：分类学视野下的学与教及其测评［M］.蒋小平译,北京：外语教学与研究出版社,2009.
［4］AlanHoffer著,宗岳译.几何不仅限于证明［J］.教学与研究,1982（3）.
［5］史宁中,孔凡哲.关于几何直观的含义与表现形式［J］.课程.教材.教法,2012（32）.
【本文系基金项目“2015年教育部人文社会科学研究青年基金项目——小学生几何直观能力的形成与发展研究”（项目编号：15YJC880076）的研究成果之一.】
（责编金铃）
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