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数项级数敛散性的判别方法综述
［关键词］数项级数；收敛性；判别方法
［中图分类号］G642［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2017）15-0124-01
一、理论
1.定义：如果我们有这样的u1+u2+…+un+…的数项级数,它的部分和数列｛Sn｝,当n趋于无穷时,收敛到S,那么我们就称数项级数是收敛的.
二、应用方法
（一）运用极限的思想来解决数项级数的敛散性问题
数项级数和数列极限是同一个问题的不同形式,所以用求极限的方法来解决数项级数的敛散性就成为最直接的方法.
基本步骤：（1）分析题目给的条件,考虑
具有的特点和性质,是否可以很容易地化到数列形式或其他形式.（2）利用前n项和的极限是否存在来判断级数的敛散性,可以利用定义、柯西收敛准则等最为直接的方法,也可以选择其他极限方法.
注意：我们总是可以将数项级数化为数列的形式然后去求其极限,数列的敛散性就可以判断出来了,但很多时候这个过程是复杂的,而且并不是所有的数列极限都容易求解,所以,这个方法有其弊端,后面我们将介绍专门针对数项级数的判断方法.
(二)求解正项级数的敛散性问题
在上面我们讨论了用求极限的思想来解决数项级数的敛散性问题,计算过程其实相对复杂,我们需要一种直接判断的方法,由于正项级数的特殊性,我们有三种方法来判断,但在实际应用过程中需要比较方法的优劣,下面给出了这三种方法的
对比：
1.比较判别法是最基本的方法,适用面广,但是也有很大的弊端,关键在于如何寻找适合的比较对象.
2.比式判别法和根式判别法是使用最多的方法,它们无需寻找比较对象,依赖于通项表达式,同时,它们的弊端在于很多时候无法判别.
3.积分判别法是一种特殊的方法,需要满足特定条件才可以使用,如级数的通项必须要求是非负减函数,并且写成概念积分的形式后容易判断收敛性.
基本步骤：（1）分析题目条件,考虑
具有的特点和性质,是否有明显或者可以直接利用到的条件或者结论.（2）通常按照以下步骤依次尝试：判断通项是否为0,若不为0,即级数发散；利用比式或者根式判别法；选择判断是否可使用积分判断法；当上面三种都不可行的时候,我们只能去选择比较判别法,通过找适当的比较对象来进行判断,这一步需要通过平时的做题来积累.
(三)交错级数的敛散性
交错级数是一种特殊类型的数项级数,它具有典型的形式,同时也有专门的求解方法——莱布尼茨判别方法,在很多题目中有着重要的应用.
（四）通过采用狄利克雷判别法和阿贝尔判别法来求解一般数列的敛散性问题
当我们在做题的时候遇到一般项级数的问题时,应该优先考虑级数是不是绝对收敛,这样问题就变成去判断正项级数的敛散性问题,如果级数不是绝对收敛,除了交错级数可以用莱布尼茨判别法来判断,还可以利用数项级数收敛的定义、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,后两种方法用于判断具有两项乘积的级数只要两项分别满足定义要求,即可得到收敛的结论.
基本步骤：（1）分析题目条件,考虑
具有何种特点和性质,先判断是否绝对收敛；（2）如果不是数项级数求出来不是绝对收敛,又不能使用莱布尼茨判别法的时候,可以将通项按要求分成两项的乘积,尝试使用狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.
方法论文范文结:
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