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数学课堂理答的基本策略和方法
摘 要：理答是对学生回答问题的处理（应对）,是常用的教学评价（引导）形式.数学课堂中,理答可以从问题的类型特点和学生的回答情况两个方面入手：把数学问题分为判断性问题、陈述性问题、程序性问题和探究性问题四类,然后根据问题的特点理答；把学生的回答分为正确回答、错误回答和异常回答三类,然后根据回答的差异理答.这两者具有密切的联系,体现了预设和生成、学科与学生、过程与结果的有机统一.
关键词：理答问题类型学生回答
问题是数学的心脏,是数学发现的源泉.郑毓信教授主张：“数学教学应该坚持问题引领,实现‘教学内容的问题化’,由具体内容提炼出相应的核心问题,通过适当的提问,将学生的注意力由具体的知识引向隐藏于其背后的数学思想和数学方法,从而逐渐学会思考.”
事实上,很多数学教师在实际教学中都十分重视提问的艺术,精心设计数学问题,优化创设教学情境.但也有许多教师只重视数学问题的设计,却忽视了提问后对学生回答的处理（应对）,即理答.
理答是常用的教学评价（引导）形式.它的主要任务是帮助学生减小现有的回答与理想的答案之间的差距,缩短已有的知识、能力与未来必须达到的知识、能力之间的距离.它的重要功能是引导学生思考,让学生的思维更加深刻、灵活、敏捷、广阔；提升学生认识,让学生对数学知识的理解更加系统、全面,对数学思想方法的领悟更加显化、深化.它既反映了教师对提出的问题是否具有准确、深刻的理解和科学、全面的预设,也反映了教师对教学生成的判断、应变、处置等能力的高低,且直接影响教学目标的达成、学习效果的好坏.
因此,教师不仅要认真研究如何科学地提出数学问题,还要研究提出问题后学生会有哪些回答方式和结果,更要研究针对学生千差万异、千变万化的回答如何进行理答.理答应该讲究策略,优化方法,可从以下两个方面入手：
一、按照问题的类型特点理答
根据提问的意图,我们可以把数学问题分为判断性问题、陈述性问题、程序性问题和探究性问题四类,然后根据问题的特点理答.
(一)判断性问题的理答
判断性问题通常指向所给结论正确与否.对此,学生头脑中往往有一些自己认为正确而其实错误的结论.因此,学生回答后,教师要及时给出正确的评价,并重复正确的答案,帮助学生加深印象.与此同时,教师还要让学生说出判断的依据（理由）,帮助学生克服随意猜测结论、隐藏错误认识的现象.
【案例1】 “函数的奇偶性”教学设计
提问：判断下列函数（省略）的奇偶性.
预设回答与理答：无论学生回答是奇(偶)函数,或不具有奇偶性,都应要求学生说明依据（理由）,然后应该引导学生总结出判断函数奇偶性的一般方法：具有奇偶性时可以依据定义加以肯定,不具有奇偶性时可以举出反例加以否定.
(二)陈述性问题的理答
陈述性问题通常指向知识结论,目的是了解学生已经学习了哪些内容,学到了什么程度,还缺少什么.比如,习题课、复习课开始时,教师通常提问,前面我们学习了哪些知识,解决了哪些问题.首先,它要求学生知识目标明确,结论表述准确.教师可以通过递进式提示让学生列举符合知识结论的具体例子（正例和反例）,发现、解决学生学习中的肤浅认识和疑惑问题,促进学生理解知识.其次,它要求学生运用多种数学语言表达同一个知识结论,运用同一个知识结论的多种呈现形式去分析、解决问题.教师可以引导学生相互补充完善知识的各种呈现形式.再次,学生的回答往往隐含错误或不足.教师要启发学生自主改正,或请其他学生补充,从而帮助学生完善知识结构体系.
【案例2】 “正弦定理和余弦定理的应用”教学片段
师前面,我们学习了正弦定理和余弦定理,今天,我们进一步研究它们的应用.首先,请同学们说说正弦定理和余弦定理的内容.
生正弦定理是asin A等于bsin B等于csin C等于2R,余弦定理是cos A等于b2+c2－a22bc.
师有没有同学补充？
生以上回答不完整,应该加上在△ABC中.
生还要交代a、b、c是△ABC的三边长,A、B、C是对应的三个内角,2R是△ABC的外接圆直径.
生第一位同学回答的余弦定理不是原始形式.
师（完整表述正弦定理和余弦定理后）正弦定理和余弦定理还有那些形式？
生（重复前提条件后）a∶b∶c等于sin A∶sin B∶sin C,a等于2Rsin A,b等于2Rsin B,c等于2Rsin C,sin A等于a2R,sin B等于b2R,sin C等于c2R.
生（重复前提条件后）a2等于b2+c2－2bc·cos A,b2等于a2+c2－2accos B,c2等于a2+b2－2abcos C.
生（重复前提条件后）cos B等于a2+c2－b22ac,cos C等于a2+b2－c22ab.
师a2等于b2+c2－2bccos A这种形式可以解决“已知两边与夹角,求第三边”的问题,cos A等于b2+c2－a22bc这种形式可以解决“已知三边,求三个内角”的问题.那么,已知两边与一对角,如已知a、b、A,能否运用余弦定理的适当形式求解呢？
生因为余弦定理是三条边与一个角之间的等量关系,所以已知a、b、A可以通过解方程c2－(2bcos A)c+b2－a2等于0求出c.
师很好！不同的形式可以解决不同的问题.那么,能否将正弦定理与余弦定理结合得到新的形式,解决新的问题呢？
生可以将三角形的三边用对应角的正弦值表示,得到三个等式：sin2A等于sin2B+sin2C－2sin Bsin Ccos A,sin2B等于sin2C+sin2A－2sin Csin Acos B,sin2C等于sin2A+sin2B－2sin Asin Bcos C.
生这三个式子好像是三角恒等式.
师很好！刚才大家给出了正弦定理与余弦定理的多种形式.它们在解三角形中有重要的应用.
……
在以上案例中,教师的理答设计关注正弦定理和余弦定理相关知识结构的完整性、知识呈现形式的多样性、不同知识间的关联性,让学生对数学知识有了更加准确、全面、深刻的理解.
(三)程序性问题的理答
程序性问题通常指向策略方法.它要求学生首先说出处理问题的基本策略或思路,然后回答解决问题的方法或步骤.教师理答时,首先要启发学生说出是如何想到的,其次要引导学生完整规范地说出相应的过程,再次要鼓励学生补充不同的策略与方法,并对它们做出比较与评价,促使学生进行选择与优化,进而掌握适合自己的解题策略与方法.
【案例3】 “椭圆的标准方程”教学片段
（学生推导出椭圆的标准方程.）
师你能总结推导椭圆标准方程的基本方法与步骤吗？
生第一步是建立坐标系.
（教师启发学生从结果认识建立坐标系的合理性、简捷性.）
生第二步是根据定义列出等量关系.
（教师要求学生准确表示椭圆上的点的坐标满足的数量关系.）
生第三步是化简.
（教师提醒学生如何才能简化运算,比较几种化简方法的优劣.）
生第四步是证明化简后的方程是椭圆的方程.
（教师提醒学生只要说明两点.）
生第五步是总结方程特点.
（教师引导学生比较椭圆的标准方程与直线的截距式方程、圆的最简方程,发现相应特点.）
推导椭圆标准方程的基本方法与步骤对于以后学习双曲线和抛物线的方程具有典范意义.因此,这里的理答设计引导学生一步一步、充分详尽地进行归纳总结.
(四)探究性问题的理答
探究性问题通常指向发现创新.一般来说,学生依据现有的知识技能和方法经验无法及时回答此类问题,必须经过独立思考、小组讨论、实验探究等过程,采用观察、归纳、猜想、类比、想象、化归、推理、计算、逆向分析等方法才可能获得答案.对此,在设计理答时,教师要制定基本的探究策略和方法,让学生明确探究要求,不能一提出问题,就抛出结果,或者让学习成绩较好的学生回答；也不能先指定学生,后提出问题,导致其他学生不加思考.在理答过程中,教师既要善于等待,留有充分的时间,让学生独立思考,鼓励学生大胆发表自己的探究结果和想法,又要“雪中送炭”,适时提供有启发性的材料,以点拨学生,防止学生走入死胡同；且要及时组织学生合作讨论,并在关键处引导,促进学生豁然开朗、发现目标；还要及时反馈,通过追根溯源、补充完善、另辟蹊径、反例辨析等方式引导学生寻找正确答案.
【案例4】 “椭圆的离心率性质”教学片段
师（呈现一组离心率各异的椭圆,让学生观察片刻）上面一组椭圆的形状各有差异,你能用数量关系反映它们的差异吗？
生这些椭圆的扁圆差异是由a、b取值的不同引起的.
生应该是由a、b、c的变化引起的.
生你能说出具体的变化规律吗？
生我发现,b越大（接近a）,椭圆越圆；b越小,椭圆越扁.
生当b不变时,a越大,椭圆越扁；a越小（接近b）,椭圆越圆.
生其实,c越大,椭圆越扁；c越小,椭圆越圆.
师既然椭圆的扁圆程度同时与a、b、c有关,那么能否将这3个量结合起来？
生因为b2等于a2－c2,所以可以将3个量变成2个独立的量.因为a、c是已知的,所以最好选a、c.
生可将椭圆的扁圆程度看作一个变量,它与c成正比,与a成反比,因此可以表示成y等于k·ca.
师为了方便起见,我们给扁圆程度变量起一个名字叫离心率,用e表示.为了简洁起见,令k等于1,则e等于ca.
（教师简单说明离心率的含义与合理性.）
发现椭圆的离心率是具有探究意义的课题.以上理答过程中,教师抓住三个问题启发学生探究.一是呈现现象引发问题：椭圆的形状有什么不同？二是共同探究：椭圆扁圆变化的规律是什么？三是获得离心率的概念：如何科学合理简洁地表达规律？在这一过程中,学生经历了完整的直观抽象、逻辑推理、符号表达数学知识的过程.
二、按照学生的回答情况理答
我们可以把学生的回答分为正确回答、错误回答和异常回答三类,然后根据回答的差异理答.
(一)正确回答的理答
正确回答主要表现为学生的回答基本正确；或部分正确,但不完整；或思考正确,但不会表达,其原因往往是记忆不清晰、理解有差异、考虑不全面、计算不准确、条件不充分等.教师对学生的正确回答要及时肯定,对学生的复杂回答要复述一遍,以便让其他学生及时巩固,加深理解；对学生部分正确但不完整的回答要先肯定正确的部分,再启发学生不断完善,或让其他学生进行补充,以帮助学生学会完整、系统地处理问题.
【案例5】 “双曲线的几何性质”教学片段
师上节课我们研究了双曲线的标准方程,本节课我们应该研究什么？
生研究双曲线的性质.
师双曲线有哪些性质呢？
（学生思考、讨论.）
生类比椭圆,运用双曲线的标准方程可以得到双曲线有范围、对称性、顶点、离心率等性质.
师很好！还有其他性质吗？
生在初中我们学习了反比例函数,它的图像是双曲线,不知道与现在的双曲线是否一样有渐近线？
师这个问题提得好,下面我们一起来探究.
……
(二)错误回答的理答
错误回答主要表现为学生不会回答,一问三不知；或答非所问,文不对题,颠三倒四,逻辑混乱；或表面正确,隐藏错误；或误打误撞,猜出答案,没有真理解,说不出理由.从知识、能力方面分析,主要有知识性错误、方法性错误、思维性错误、计算性错误、规范性错误等.对此,教师可以采取“诱敌深入”的办法,让学生充分暴露思维过程,说出产生错误的原因,再通过反例反驳辨析,暴露错误的根源,最后因势利导,纠正错误.此外,教师还要及时增加点评、讨论、练习等环节,帮助学生巩固纠错成果.
【案例6】 《函数的性质》复习课教学片段
师已知定义在R上的函数f(x).（1）若f(－2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数；（2）若f(2)<f(3),则函数f(x)是单调增函数.试判断这两个命题是否正确,并说明理由.
生两个结论均正确.
师你判断的依据是什么？
生对于（1）,因为f(－2)≠f(2),不满足f(－x)等于f(x),所以f(x)不是偶函数.对于（2）,因为2<3,f(2)<f(3),满足单调增函数的条件,所以f(x)是单调增函数.
师单调增函数的概念是什么？
生对于任意两个自变量的值x1、x2（x1<x2）,有f(x1)<f(x2),则f(x)是单调增函数.
师所以由自变量的两个特殊值对应的函数值大小,并不能说明函数f(x)是单调增函数.
生那么,为什么第（1）小题由f(－2)≠f(2),就可以判断f(x)不是偶函数？
师我说你是全班个子最高的学生,可以拿出什么样的证据？
生与全班每个同学比较身高,我比其他同学都高,或其他同学都比我矮.
师找到一个同学个子比你矮,能不能证明？
生不能.因为不能确定其他同学都比我矮.
师找到一个同学个子比你高,能不能证明？能说明什么？
生可以说明结论是错误的.（停顿片刻）老师,我知道我判断错误的原因了.要说明函数f(x)在R上是单调增函数,必须对任意两个值满足x1<x2,都有f(x1)<f(x2)；而要说明不是,只要找到一组值就可以了.
师好.这个问题同学们都理解了吗？
……
对于教师最初提出的问题,学生的回答有错误.教师“诱敌深入”,让学生说出判断的依据并解释相应的概念.由此,学生暴露出“对肯定判断要加以证明,而对否定判断只要举出反例”的不理解.对此,教师利用一个生活化的例子,纠正了学生的理解错误.
(三)异常回答的理答
异常回答主要表现为学生的回答另辟蹊径,虽然出现错误,但是新颖独到；或出乎意料,虽然奇思妙想,但是弥足珍贵.对此,在理答时教师不能简单地以对错作为评价标准,对学生做出否定和批评；必须因势利导,追根溯源,“逼”学生讲出是如何想到的,展示他们理解、分析的思维过程,甚至是灵感闪现的过程；还要适当点拨,引发讨论,发掘某位学生的闪光之处,发挥全体学生的聪明才智,拓宽学生的思维,提升学生的认识.在这一过程中,教师尤其要注意放低姿态,不怕出丑、不怕出错,坦然承认自己的“无能”和“错误”,让学生展示成功,品尝快乐.
【案例7】 《直线与圆锥曲线的位置关系》习题课教学片段
（教师出示如下例题.学生独立思考,自主探究.）
例题在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C：x2－y24等于1.是否存在经过点P(1,1)的直线l,与双曲线C交于A、B两点,使点P是A、B的中点.若存在,求出直线l的方程；若不存在,说明理由.
师请同学们说说你的探究结果.
生我求出直线l的方程是4x－y－3等于0.
师你是用什么方法求解的？
生已知直线l经过点P,我设直线l的斜率为k,表示出直线l的点斜式方程,与双曲线方程联立,得到关于x的一元二次方程,由韦达定理求得k等于4.
师还有不同的方法和结论吗？
生我用点差法.设A(x1,y1)、B(x2,y2),代入双曲线方程,作差得x21－y214等于1,x22－y224等于1,两式相减得4(x1+x2)(x1－x2)－(y1+y2)(y1－y2)等于0,因为x1+x2等于2,y1+y2等于2,可得k等于y1－y2x1－x2等于4,求得直线l的方程为4x－y－3等于0.
生我认为结论应该是不存在.
师请你说说理由.
生我画图发现直线与双曲线不相交.
生画图直观,但不一定准确.可以解方程组判断是否相交.
师请同学们验证一下.
（学生通过运算验证发现,正确结论是不存在直线l.）
师请同学们总结一下求解此问题的方法步骤和注意点.
生在设直线的方程时,要先考虑斜率不存在的情况,还要考虑直线方程与双曲线方程联立所得的方程组有解,即消元后关于x或y的二次方程的判别式Δ大于0.
生我发现用点差法时,对任意一点P都可以求出一个方程,且表示一条直线,但是这条直线不一定与双曲线相交且以P为所截线段的中点,而可能是与其他曲线相交.
师这到底是为什么呢？我们是否可以从点差法的求解过程中寻找答案？
生我发现,如果将x21－y214等于1,x22－y224等于1换成x21－y214等于λ,x22－y224等于λ,相减化简,结果也是一样的.这说明A(x1,y1)、B(x2,y2)不一定在双曲线C上,而可以在其他与双曲线C渐近线相同的双曲线上,甚至在双曲线C的渐近线上（这时λ等于0）.因此我认为,直线l经过点P,与双曲线C的渐近线相交于两点,且P是这两点之间线段的中点.
师很好！你怎么会联想到渐近线呢？
生我联想到求双曲线的渐近线方程时,只要将双曲线方程的常数项1变成0,分解因式即可.而且上周刚刚学到,与已知双曲线渐近线相同的双曲线可以表示为x2a2－y2b2等于λ(λ≠0).两者结合,我就获得了上面的猜想.
生我猜想,过双曲线与两条渐近线围成的区域内的任意一点P,都不存在满足条件的直线.
师又是一个新的猜想.你的灵感来源于何处？
生我是由线性规划中直线划分平面区域中点的共同性质联想得到的,但我不会证明.
师那么,过其他区域内的点,是否都存在满足条件的直线呢？以上求出的直线是否与双曲线的渐近线有两个交点且以已知点为所截线段的中点呢？在椭圆中是否有类似的结论呢？请同学们继续探索.
……
这里,教师的本意是让学生掌握两种常见的求直线方程的方法,并通过检验强调,直线与曲线相交是前提条件,但学生却从解题错误中发现了另外几个问题：（1）点P在什么位置才存在满足条件的直线；（2）点P在什么位置不存在满足条件的直线；（3）用点差法求出的直线尽管不一定符合条件,但是否有具体的几何特征；（4）这些问题是如何想到的；（5）如何解决这些问题.大多数问题并不在教师的教学预设之中,但却极具价值.对此,教师灵活应变,抓住学生的课堂生成,保护学生的创造火花和创新意识,和学生一起探索奥秘,锤炼学生数学的眼光和思维.
按照问题的类型特点和学生的回答情况理答,仅仅是从两个角度提供了理答的策略和方法.两者具有密切的联系,体现了预设和生成、学科与学生、过程与结果的有机统一.按照问题的类型特点理答,必须“心中有人”,紧紧围绕学生的回答情况,选择调整理答设计方案；按照学生的回答情况理答,既要灵活应变,发现亮点,又要紧扣目标问题,避免信马由缰.
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