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基于正定矩阵的多元函数极值判定与应用
［摘 要］首先,从二次型多项式的正定性判别出发,研究二次型的极值问题,得到正交变换可保驻点和极值点不变性,并从理论上解决了一般二次函数转化为二次型问题；其次,采用泰勒展开法,将多元函数在驻点处进行二阶泰勒展开,并考查系数矩阵的定性,并依此得到极值判定的充分条件；最后,给出该方法在多元线性回归中计算回归系数的应用.
［关键词］二次型；正（负）定；二次多项式；极值判定；泰勒展开；多元线性回归
［中图分类号］G712［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2018）27-0148-02
一、二次型的极值
在线性代数理论中,采用的正交变换使一般二次型多项式成为标准化.而正交变换保证了保角和保长的性质,这表明函数在表示几何曲面的意义下,通过正交变换,能保持曲面几何不变性,只是在位置上发生一定的变化,同时,在标准形式下,更容易分析曲面的几何性质.事实上,在代数形态下,函数的某些形态也具有不变性,在二次型的极值研究中,正交变换还具有保驻点不变和保极值点不变的性质.二次型标准化的形式为：
注意到,如果特征根全为正,其标准型存在唯一的极值点（也是最小值点）y等于0.于是函数f（x）的最小值点为：0等于y等于xP,由正交变换的可逆性,于是x等于0.
关于二次型的定性和极值点的判别：
1.系数矩阵是正定（负定）的,特征根全为正（负）,此时函数存在唯一的极值点x等于0,也是最小（大）值点.
2.系数矩阵是未定型的,同时存在正的和负的特征根,此时函数存在驻点x等于0,但驻点不是极值点,因此,函数不存在极值点；事实上,不妨设标准化中的第一二两个特征根分别为正数和负数,那么,第一、二分量的0的邻域内,函数取值既有正数和负数,而f（0）等于0.
3.系数矩阵是半正定（负定）的,此时,特征根为0或者是正（负）的,并且由矩阵论可知正特征根的个数为系数矩阵的秩,那么函数存在极值点,也是最小（大）值点,这些极值点构成超平面S,其维数满足r（S）等于n-r（A）；事实上,不妨设λ1,…,λK＞0,k等于r（A）,在标准型中,只要取?坌y1,…,yk等于0,yk+1,…,yn≠0,f（x）等于0其对应的x≠0,并且构成的空间S维数为r（S）等于n-r（A）.
二、二次型的平移与二次多项式
对二次型函数的研究,还可以将之一般化,考虑对二次型函数采用平移变换,得到形式：
其极值点的存在性,可与标准二次型的极值进行类比讨论,决定因素依然是系数矩阵的定性.比如,在系数系数矩阵的特征根全为正（负）的,函数存在唯一的极值点x0等于（x10,…,xn0）.
由线性方程的性质知：一般二次型函数通过平移,能化为二次型的充要条件是二次函数存在驻点.针对一般形式,其平移为二次型的做法就是,对存在驻点的,先求解驻点,再将之改写为二次型,而对驻点不存在的,则不能改写为二次型.
比如：f（x,y）等于x2+y2+2xy+4x+2y,满足fx等于2x+2y+4等于0及fy等于2y+2x+2等于0的点不存在,故而该函数不能写成标准二次型.另外,如果该函数能写成二次型形式：f（x,y）等于（x-a）2+（y-b）2+
k（x-a）（y-b）,将其展开,并比较系数得k等于2,a+b等于-2,并且a+b等于-1,这是不可能的,或者说关于待定常数a,b是无解的,这也表明该函数不能写成标准二次型.
例如f（x,y）等于x2+2y2+4xy+2x+4y,满足fx等于2x+4y+2等于0及fy等于4y+4x+4等于0,得到驻点为（-1,0）,故而该函数可写成二次型f（x,y）等于（x+1）2+2y2+4（x+1）y-1.
三、多元函数的二次型展开与极值判定
在二元函数极值的问题研究中,众多文献均给出了极值判定的充分条件.其依据是建立在对二元函数的二阶泰勒展开,同时,给出在系数矩阵的正（负）定时,极值的判别.以下将针对更高维度的多元函数的极值给出判定方法,并指出相应的理论依据.
结论：（1）Δ是正定（负定）的,特征根全为正（负）,此时函数存在极小值点；（2）Δ是未定型的,同时存在正的和负的特征根,此时驻点不是极值点；（3）Δ是半正定（负定）的,此时,特征根为0或者是正（负）的,并且由矩阵论可知正特征根的个数为系数矩阵的秩,那么函数存在极值点,这些极值点构成超平面S,其维数满足r（S）等于n-r（A）.如此,再将二元函数的极值问题推广为更多元函数时,其判别思路不是简单的性质平移,而是要从矩阵的定性来进行思考.
四、多元函数极值的应用
对此,采用线性方程的克莱姆法则即可求出各参数的值.
在多元统计线性回归操作中,在实际问题处理中,还需要对变量之间的相关程度展开研究,认为具有高相关程度的两个变量进行合并,以减少回归系数的运算.同时,也保证了驻点方程解的唯一性.
另外,需要说明的是,在回归系数的求解中,以上所给出的是它的理论计算,在实际应用中,往往采用科学计算进行实现.可采用专业的数学软件,以完成相关的计算.与此同时,在线性回归中,还需要对回归的优度进行检验,关于此,本文未给予统计理论方面的解释.
参考文献：
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［5］丘维声.高等代数［M］.清华大学出版社,2010.
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矩阵论文范文结:
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