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基于数学核心素养的高中数学教学实践
【摘 要】本文通过在生源较为薄弱的高中学校进行课堂教学实践,总结出切实可行的教学方法,并以常见的教学案例为例详细阐述,以更好地培养学生数学核心素养.
【关键词】高中数学 核心素养 教学案例 教学片段
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）02B-0071-04
正在修订中的高中数学课程标准提出了数学六大核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析）,要求教师逐步将数学核心素养落实到实际的教学当中.然而一些中考生源层次较低的高中学校,却仍然在徘徊与观望.因此,如何才能在高中数学教学实践中落实核心素养的培养要求是一个值得探讨的课题.笔者通过在中考录取生源层次较低的普通高中学校的课堂教学实践的教学案例,探讨如何更好地在教学实践中体现六大数学核心素养.
一、对数学核心素养的初步认识与深入理解
《教育部关于全国深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》（简称《意见》）颁布后,“核心素养”一词很快就成了一个热词.笔者对数学核心素养如此理解：首先,数学素养是通过对数学知识的习得,学习方法的积累,在实际生产生活中从数学角度出发对问题进行思考,用数学的思想对问题进行分析,用数学的方法对问题进行解决,做到叩问数学之真、感受数学之美、建构数学模型,进而养成良好的行为习惯和高雅的品质.其次,数学核心素养是数学学习者所具备适应终生发展和社会发展的数学品格和关键能力,对数学的习得具有特定意义的一种综合能力,这意味着数学核心素养的培养必须回归到数学课堂的教学中.
二、在教学实践中利用案例培养数学核心素养例举
（一）体现数学抽象,以“角的概念的推广”的教学片段为例
〖案例 1〗“角的概念的推广”的教学情境引入
创设问题情境时,在 PPT 上展示如图 1 水车的图片,将图 1 中的水车图像抽象为数学研究的对象（图 2）,进而提出问题：在图 2 的水车示意图中,水车轮边沿上的定点 P 到水面的距离 y,可以看作是水车轮中心 O 与点 P 的连线和过点 O 的水平线方向的夹角 θ 的函数 y等于f（θ）,其中自变量 θ 是角度.
由图 1 的实物图到图 2 的示意图是提升数学思维的一个抽象概括的过程,这样的“升维”——图形予以表征,将会让基础薄弱的学生难于接受,所以我们还要想方设法实现一次“降维”——化抽象为具体,适时通过动画（图 3）的演示,让学生感知与触摸到数学符号的表述,即理解了定点 P 到水面的距离
y 与夹角 θ 之间的函数关系,另外,动画显示让学生亲眼目睹了夹角 θ 的变化已超出原有角的范围 0°~360°,因此就顺理成章地要求将角进行推广.
在数学抽象核心素养的形成过程中,积累从具体到抽象的活动经验.通过上述的较为“本土”的课堂情境的引入,体现了数学课堂上呈现出数学抽象这一核心素养.更为重要的是它让学生能认识到图形与图形、数量与数量之间的关系.
（二）训练学生逻辑推理,以“合情推理”的教学片段为例
〖案例 2〗“合情推理”的习题讲解
〔例〕我国的《洛书》中记载着世界上古老的一个幻方：将 1,2,3,…,9 填入 3×3 个方格内,使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于 15,如图 4 所示（见下页）.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n 填入 n×n 个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫作 n 阶方阵,记 n 阶幻方的对角线上数的和为 Nn,如图 4 所示的幻方记为 N3等于15,那么 N12 的值为（ ）
A．869
B．870
C．871
D．875
〖思路分析〗解题关键在于对角线上的数字,根据题中的示范可知,幻方的对角线上的数呈现等差数列.再看对角上的两个数字,如题中已知的 3 阶幻方中左上角和右下角的数之和为 4+6等于10等于32+1,左下角和右上角的数之和为 8+2等于10等于32+1,由此可知 n 阶幻方中对角上的两个数字之和为 n2+1,从而根据等差数列的求和公式即可得到所求.
〖解析〗由题意可知,幻方的对角线上的数为一个等差数列,根据等差数列的性质可知对角上的两个数字之和为 n2+1.由等差数列的求和公式可得数列的和为 ,所以 . B 选项正确.
在教学中发现,学生对本题感到无从下手,其主要原因首先在于没有将题中所给表格数据进行分析.其次是没有很好地用上由特殊推广到一般的归纳推理来指导解题.经过教师引导,学生便能快速地发现了问题的根源所在,将本题解决.在逻辑推理核心素养的形成过程中,学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式,表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系,建构知识框架,从而形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,增强数学交流能力.
（三）培养学生数学建模能力,以“用函数模型解决实际问题”的教学片段为例
一般地,数学建模的基本思路如下：
在现实生活中,函数模型是应用最为广泛的一种数学模型.对许多实际问题来说,一旦认定是函数的关系,就可以通过研究函数的性质对问题进行梳理和把握,从而使问题得到很好的解决.
〖案例 3〗“用函数模型解决实际问题”的习题讲解
〔例〕电声器材厂在生产扬声器的过程中,有一道重要的工序,使用“AB 胶”黏合扬声器中的磁钢与夹板.长期以来,由于对“AB 胶”的用量没有一个确定的标准,经常出现用胶过多,胶水外溢现象；或用胶过少,产生脱胶现象,影响了产品质量.经过实验,已经有一些恰当用胶量的具体数据（见表 1）.
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的数学关系,请你试找出这个数学关系.
在自然科学和社会科学中,很多的规律、定律都是先通过实验,得到数据,再通过数据分析得到的.在教学过程中,首先,教师和学生共同进行思路分析,由实际情景抽象出问题：（1）该问题的两个数量之间是否呈现函数关系？（2）若呈现函数关系,如何体现出来？（3）既然是函数关系,属于已学的哪种函数？其次,根据提出的问题作导向,逐一进行解决：初步认定用胶量与磁钢面积呈现函数关系.既然表 1 中提供相当的数据,那么我们就可以将磁钢面积视为自变量 x,用胶量为因变量 y,在平面直角坐标系中描点作图.作图发现,这些点基本分布在一条直线附件,画出这条直线,使图上的点比较均匀分布在直线两侧,因此,我们有理由用一次函数 y等于kx+b 表示用胶量与磁钢面积的关系.最后,代入点求解相关的系数,确定模型,再做必要的检验.如果基本符合实际,那么就可以确定这个函数基本反映事物的规律.
（四）彰显直观想象,以“由三视图还原成实物图”的教学设计（片段）为例
〖案例 4〗“由三视图还原成实物图”的教学设计片段
北师大版数学 2 的 3.2 节内容教学,重点是教会学生根据三视图还原出对应的实物图（几何体）.难点是由三视图想象到的几何体的组合或者切割情况.在课堂教学中,我们可以引导学生利用实物与几何图进行直观形象的联系,通过类比、归纳、总结,进而有效地突破这一难点.
实际教学中,授人以鱼不如授人以渔.笔者重在数学方法的形成上,由简单图形的还原方法总结（如图 5）递进到一些组合体或切割体.这一过程主要通过“学生动手操作—提出困惑—交流学习—师生归纳—学生体悟”五个环节进行.
图5
比如,将三视图还原成实物图,我们可以从以下几个方面进行考虑：
1．通过视图分析几何体是简单几何体还是经过组合或者切割而成的几何体；
2．明确视图上各图线的意义,图线是轮廓线还是轮廓线的投影；
3．联系三视图分析该几何体的各基本部分的形状；
4．注意图中所画出的虚线和实线；
5．将还原出的实物图和三视图对照检查.
学生不一定能全部归纳出以上要点,也不易理解这些要点,在讲解时,要结合课本实例进行分析.
课本例 1 是三视图和实物图配对练习,浅显易懂.要引导学生注意比较物体及其三视图之间的联系,为例 2 做铺垫,循序渐进地开展学习.在例 2 的两个例子中,教师要启发、指导学生根据还原的要点想象实物图,并绘制实物图,以提高学生的作图能力.在例题中通过动画展示几何体原型,直观形象,激发学生的学习热情.两个例题层层递进,加深了对三视图的整体理解,培养学生对三视图和几何体的转化能力.讲解例题主要以教师就画法规则和还原要点来引导、提问,使学生积极思考、相互讨论、完成任务.
（五）突出数学运算,以“递推数列通项公式求解”的教学片段为例
〖案例 5〗“递推数列通项公式求解”的习题讲解
〔例〕（2012,大纲版全国卷,6）已知数列｛an｝的前 n 项和为Sn,a1等于1,Sn等于2an+1,则 Sn等于（ ）
A．2n-1 B． C． D．
〖教学实录〗
师：首先,请同学们读题,然后回答以下几个问题：
（1）该题考查什么知识和要准备什么“工具”？
（2）已知条件是什么？
（3）怎样考？
生：考查数列知识,需要准备数列通项公式和前 n 项和公式；已知首项和递推式子求数列的和.
师：同学们回答得很好,能抓住题中关键信息,在这,老师有个疑问,就是所求的 Sn,同学们都把它看成是求和,能否可以看作数列｛Sn｝的通项？既然题中所求为 Sn,我们不妨将递推式子转化为只有 Sn 的式子.
师：如何将 an 和 Sn 互化呢？请同学们自己动手运算,并将自己的发现和心得与同学分享.
生：利用 an＝Sn－Sn－１（n２）.
截取一个学生的解题过程进行展示如下：
〖学生解题感言〗不能思维定式地把 Sn 看着数列的前 n 项和,在运算过程中,必要时将递推式子中的 an 和 Sn 进行转换,理清运算的对象.如是求 Sn 的话,那么就用 Sn 来表示 an ,利用化归思想把 Sn 看成数列｛Sn｝的通项来求解,得到结果.
当学生展示完毕后,再给出一题变式训练,加强巩固所学的数学运算方法.
〖变式训练〗（2015,全国卷 16）设 Sn 是数列｛an｝的前 n 项和,且 a1等于1,an+1等于SnSn-1,则 Sn等于
.
（六）落实数据分析,以“数据的数字特征”的教学片段为例
〖案例 6〗“数据的数字特征”的习题讲解
〔例〕甲、乙两台机床同时生产直径是 30 mm 的零件.为了检验产品质量,从两台机床生产的产品中各抽取 10 件进行测量,结果如表 2 所示.
表2 甲、乙两台机床抽样质检表
甲机床生产的零件直径/mm30.029.830.130.229.930.030.229.830.229.8
乙机床生产的零件直径/mm30.030.029.930.029.930.130.130.130.029.9
分别计算从甲、乙两台机床抽取的 10 件产品的直径的标准差.
〖教学思路〗第一步,从学生最近发展区着手,复习已学过的平均数、中位数、众数、极差、方差等一些统计量,明确这些统计量是反映数据的集中趋势或离散程度.第二步,进一步对案例中提供的数据进行具体分析.第三步,得出相关的结论.
在本案例中,通过计算得到,甲、乙两台机床生产的各 10 件产品的直径的平均数为：（mm）
标准差：
S甲等于
等于0.161（mm）
S乙等于
等于0.077（mm）
通过计算得到的结论：甲、乙两台机床生产的这 10 件产品的直径的平均数相同；甲的标准差 0.161,乙的标准差 0.077,即 S甲>S乙,说明乙机床生产的零件要更好些,也就是说乙机床的生产过程更加稳定一些.
如今的大数据时代,很多情形下需要我们学会对数据进行收集、整理,从中提取相关信息,然后进行相应分析得出结论.因此,在中学数学课堂中进行数据分析教学是非常必要的.
三、在教学实践中培养学生数学核心素养的一些感悟
在生源基础较低层次的学校,一节课的高效与否,往往取决于课堂的设计与教学前期的思考.要使数学核心素养的培养在教学实践中得到一一落实,教师有时还得采用非常手段,才能使这些基础较为薄弱的学生更好地理解基础知识、掌握基本技能、亲身感触到数学的灵魂.这样的教学给课堂带来活力,更为重要的是让学生学习到了终身享用的本领.在以培养数学核心素养为核心的思想指导下,教学设计应该更注重学生的思维能力及动手能力的培养.
【参考文献】
［1］王 蕾．PISA对学生数学素养的评价［J］．数学通报,2009（7）
［2］严士健,王尚志．普通高中课程标准实验教科书数学 1 （必修）［M］．北京：北京师范大学出版社,2014
［3］马云鹏．关于数学核心素养的几个问题［J］．课程·教材·教法,2015（9）
［4］苏兴震．从数学思考出发有效提升数学核心素养［J］．江苏教育研究,2016（11B）
［5］颜 勇．数学核心素养的培养——从自主探究的维度思考［J］．中国农村教育,2016（12）
【作者简介】林自强（1985— ）,男,南宁人,中学一级教师,来宾市第三批学科带头人,研究方向：中学数学教学.
（责编 卢建龙）
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