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函数和方程思想在初中数学教学中的渗透

摘要：在数学教学中,教师不仅仅教授学生做对题目,更重要的是要教会学生数学思想方法.函数与方程是初中数学教学中的重要内容,教师在教学中要立足教材挖掘内容,启发学生对思想方法的转化,通过问题让学生体验思想,在实践中巩固所学的知识,以此将函数与方程思想渗透于数学教学中,提高学生的解题能力以及学习效率.

关键词：初中数学；函数与方程思想；渗透

作者简介：李清,西安交通大学苏州附属初级中学教师.（江苏苏州 215000）

中图分类号：G633.6

文献标识码：A

文章编号：1671-0568（2018）19-0098-02

函数与方程思想是学生学习数学知识和解决数学问题的一种重要思想,在初中数学教学中,不断提升学生的函数与方程思想,对于培养学生数学知识学习能力与解决问题的能力具有积极的意义.因此,初中数学教师在展开数学教学的过程中,要有目的、有意识地将函数与方程思想渗透到课堂教学中.通过结合数学教材和教学任务,启发学生对问题进行深度的思考,提升学生运用函数与方程思想解决问题的能力,让函数与方程思想贯穿于个数学学习过程中,以指导学生更好地学习数学.

一、立足教材,挖掘函数与方程思想的教学内容

当前的初中数学课程内容中,主要包含了数与代数、几何、函数、统计与概率等知识,而其中函数与方程则占据了很大部分,是整个初中数学教学中的核心与重点.因此,教师要想将函数与方程思想有效地渗透到初中数学教学中,首先就需要从初中数学教材出发,认真研读教材,挖掘函数与方程相关的内容,并在这些内容的教学中向学生渗透函数与方程思想.

例如,教师在对“二次函数”进行教学时,首先需要对这一知识点进行深入分析,确定学生在该知识点的学习中需要掌握的重点,即二次函数的概念.一般我们将具有这样形式y等于ax2+bx+c（a、b、c皆为常数,且a≠0）的式子称为二次函数.此时,教师可以引导学生解读这个式子的数学概念,结合以往所学过的一元二次方程的相关知识,通过对比分析,找到二次函数与一元二次方程两者之间的联系.教师可以在列出二次函数的一般式后,将一元二次方程的一般式“ax2+bx+c等于0（a、b、c皆为常数,且a≠0）”一并列出来.引导学生通过对比分析后发现,当二次函数的“y等于0”时,二次函数就变成了一元一次方程式.上述的教学内容很好地体现出了函数与方程思想,引导学生在学习二次函数的知识时,通过转换思想,让学生学会利用方程的知识来解决函数问题.所以,通过在数学教材中挖掘跟函数与方程相关的知识点,并对学生进行有目的的数学思想渗透,有助于优化教学质量与提升学生的学习效果.

二、启发思考,实现函数与方程思想的转化

所谓的函数与方程思想,实际上就是借助函数模型将一些较难处理、较难解决的方程问题转化为函数,而后运用函数知识解决方程问题；或是通过分析一些难以解决的函数问题,寻找到与之等量的关系以建立方程,利用方程的相关知识解决函数问题.所以,函数与方程思想在很大程度上体现了学生的逻辑思维能力和思维的灵活性.故而,在初中数学教学中,教师需要启发学生对问题进行深度的思考,使其能够灵活掌握并很好地运用函数与方程知识,让学生在知识的转化中形成函数与方程思想.

例如,在教学“二次函数y等于ax2+bx+c（a、b、c皆为常数,且a≠0）的图像和性质”时,教师要想在这一节内容中向学生渗透函数与方程思想,可以通过为学生设置问题情境的方式,启发学生进行深度的思考.比如,教师可以设置这样一个问题,以引导学生发现并掌握二次函数与一元二次方程的关系.问题：二次函数y等于ax2+bx+c（a、b、c皆为常数,且a≠0）的图像,与X轴交点坐标跟一元二次方程ax2+bx+c等于0的解具有什么样的一种关系？在设置这个问题时,同时还需要给予学生一点提示：要考虑到二次函数图像与X轴相交时可能存在的几种情况,如两者相交没有交点、只有一个交点或是有两个不同的交点.此时,学生通过对教师提出的问题进行思考并结合教师所给出的提示,能够得到以下结论：当函数y等于ax2+bx+c（a、b、c皆为常数,且a≠0）与X轴并无交点时,方程ax2+bx+c等于0无实数根；当函数y等于ax2+bx+c图像与X轴相交且仅有一个交点时,方程ax2+bx+c等于0有两个相等的实数根；如函数y等于ax2+bx+c图像与X轴相交存在两个不同的交点,那么方程ax2+bx+c等于0则有两个不相等的实数根.通过设置问题启发学生进一步思考二次函数与一元二次方程的关系,以增强学生对函数与方程思想的感知,促进数学思想的形成.

三、结合问题,增强函数与方程思想的应用体验

在初中数学的学习中,很多数学问题甚至是生活中的问题,都需要运用函数与方程进行解决,通过建立函数、方程模型,从而将抽象的问题变得具体化,使答案显而易见.因此,教师在向学生渗透函数与方程思想时,可以结合实际数学问题,引导学生运用函数与方程思想去解决数学问题,以增强学生应用函数与方程思想的体验.

例如,教师在教学“一元二次方程与二次函数”的相关知识内容后,可以给学生布置这样一道习题：已知方程x2-3x+k等于0的两个根取值范围分别为大于1的数和小于1的数,那么请问“k”的取值范围是？在布置这个题目后,让学生分析二次函数与一元二次方程的联系,利用二次函数的知识解答问题.通过教师的指导,学生的分析如下：由该方程可以知道,方程的两个根为一个取值范围,也就是不确定的数值,因此该方程不能够用方程的知识进行解答.通过分析二次函数与一元二次方程的联系,将这一方程转化为函数问题,可以把x2-3x+k等于0看为一个二次函数,方程两个不同的根则为二次函数自变量x的值；根据函数的图像与性质,知道这是一个图像呈开口向上的抛物线函数,而当y等于0则为这个方程的解.回头看题目所给的已知条件“两个根分别为大于1和小于1的实数”,故而,推断出：当x等于1时,y＜0,将x等于1带入方程,能够得到k值小于2.通过引导学生结合实际问题,学会应用函数与方程思想解决问题,从而加深学生对这一种数学思想的体验与理解,使其能够更好地运用这种思想.

四、引导回顾,推进函数与方程思想的内化

学生能够简单、机械地记忆函数与方程思想,是这种数学思想在初中数学教学中渗透的最低层次,也是学生掌握这种思想的基础.而只有学生在学习数学知识、解决数学问题的过程中,能够不由自主地重构这种数学思想,使这一思想内化为学生大脑知识结构中的一部分,才能说明学生真正地掌握了这种思想.所以,在学生应用函数与方程思想解决数学问题的过程中,教师要善于引导学生对解题过程、应用过程进行回顾,通过回顾分析,理清应用数学思想解题的思路,并对解题过程中函数与方程思想的应用进行反思,使学生在应用——反思——应用的过程中,将这种数学思想内化为自身的思维方法,进而在数学学习中,能够自觉、自然而然地应用这种思想指导学习并解决数学问题.

例如,在上文提到的“x2-3x+k等于0”这一道题的解答中,教师在引导学生应用函数与方程思想解决这道数学问题后,应该及时引导学生对解题的过程进行回顾、反思.让学生在反思中学会梳理解题思路,明确这一道题是在运用一元二次方程知识无法解决后,将其转化为二次函数,利用函数图像与性质解答的.教师引导学生共同对解题过程进行回顾：首先,在理解题意、分析题目后,明确该方程不能用方程知识解答；其次,通过分析二次函数与一元二次方程的关系,将方程转化为函数；最后,借助函数的图像与性质对方程进行解答.在这样一个回顾、反思过程中,学生不仅对函数、方程知识进行了复习和巩固,同时还对函数与方程思想有了进一步的理解与认识,这对于函数与方程思想的内化具有积极的作用.

函数与方程思想是初中阶段的重要数学思想之一,加强在初中数学教学中函数与方程思想的渗透,能够让学生掌握并学会应用这一种思想,这对于促进学生数学知识水平的提升和发散思维、逻辑思维能力的培养,以及综合素养的提升具有重要意义.

参考文献：

[1] 张为成．初中数学教学中渗透数学思想方法的教学策略研究［Ｊ］．新课程导学,２０１５,（３５）．

[2] 季霞．函数思想方法在初中数学教育中的应用研究［Ｊ］．数理化学习,２０１４,（１２）．

[3] 张晖萍．浅谈初中数学教学中的函数思想和方程思想［Ｊ］．考试周刊,２０１５,（４５）．

责任编辑罗佳

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