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巧作辅助线妙解题
辛贺华
人教版数学课本习题7.2第9题：如图1,AB ∥ CD,∠BAE＝∠DCE＝45° . 填空：因为AB ∥ CD, 所以∠1＋ 45°＋ ∠2＋ 45°＝180°. 所以∠1 ＋ ∠2＝90° . 因为∠1 ＋ ∠2 ＋∠E＝180°. 所以∠E＝90°.
其实这道题可以看作是：如图2,已知AB ∥ CD,∠BAE＝∠DCE＝45°. 求∠E 的度数.
课本的解题方法是通过作辅助线,连接AC,利用平行线的性质定理和三角形内角和定理解题.
应用到的基础知识有：
1. 平行线的性质定理：两条直线平行,同位角相等；两条直线平行,内错角相等；两条直线平行,同旁内角互补.
2. 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
除了教材的解法外,还可以采用如下解题方法.
解法1：如图3,过点E 作直线l,使l∥AB,根据平行公理的推论,因为l∥AB,AB∥CD,所以AB∥CD∥l.因为l∥AB,∠BAE＝45°,所以∠1＝45°. 因为CD ∥l,∠DCE＝45°,所以∠2＝45°. ∠AEC＝∠1＋ ∠2＝45°＋45°＝90°.
解法1 用到了平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行.
解法2：如图4,延长AE 交CD 于点F,因为AB∥CD,∠BAE＝45°,所以∠EFC＝45°,所以∠CEF＝180°－∠ECF － ∠EFC＝90° . 所以∠AEC＝180°－∠CEF＝90°.
解法2 还用到了邻补角的性质：邻补角互补.
解法3：如图5,过点E 作直线FG 交AB 于点F,交CD 于点G. 因为AB∥CD,所以∠1＋∠FGC＝180°. 又因为∠BAE＝∠DCE＝45°,由三角形内角和定理知：（ ∠1 ＋ ∠BAE ＋∠2）＋（ ∠3 ＋ ∠DCE ＋ ∠FGC）＝180° × 2＝360° ,所以∠2 ＋ ∠3＝360°－ 45°－ 45°－ 180°＝90°,所以∠AEC＝90°.
规律总结： 求一个角的度数,经常需要用到平行线的性质定理、三角形内角和定理等知识,这时我们要根据需要添加辅助线,构造平行线或构造三角形去解题.
下面我们再来看一看由课本习题演变成的中考题：
例1 如图6,直线l1∥l2,且l1,l2被直线l3 所截,∠1＝∠2＝35°,∠P＝90°,则∠3＝_______.
解析： 如图6,∠2＝35°,∠P＝90°,由三角形内角和定理知：∠4＝55° . 因为l1 ∥ l2,所以∠3 ＋ ∠4 ＋∠1 ＋ ∠2＝180° ,所以∠3＝180° －∠1－ ∠2－ ∠4＝180°－ 35°－ 35°－55°＝55°.
例2 如图7,在△ ABC 中,∠C＝90°. 若BD∥AE,∠DBC＝20°,则∠CAE 的度数是（ ）.
A. 40° B. 60°
C. 70° D. 80°
解析：如图8,过C 作CF ∥BD.因为CF ∥BD,BD ∥AE,所以BD ∥AE ∥ CF. 因为CF ∥ BD,∠DBC＝20°,所以∠BCF＝20°. 因为∠BCA＝∠BCF ＋ ∠FCA＝90°,所以∠FCA＝90°－20°＝70°. 因为AE∥CF,所以∠CAE＝∠FCA＝70°. 答案为C.
巧作辅助线妙解题论文范文结:
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