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例析几何问题的代数解法
［摘 要］ 几何问题代数化,是一种重要且构思巧妙的数学思维方法.几何问题的代数解法主要有坐标法、三角法、向量法,这三种解法开阔了解题思路,各有其特点、解题步骤及适用范围.
［关键 词］ 几何问题；代数解法；数形结合
［中图分类号］ G712 ［文献标志码］ A ［文章编号］ 2096-0603（2017）17-0114-02
几何在建筑、工程、设计及日常生活中都有广泛的应用.我们把涉及几何图形的数学问题称为几何问题.传统的纯几何解法是从形到形的推理,学习起来有一定的难度且有时候无法解决问题.解决几何问题时,我们可以引入“数形结合”的思想,将几何问题代数化,以数助形,借助于几何图形所蕴含的数量关系及代数的算法化优势,使问题获解.几何问题的代数解法主要有坐标法、三角法、向量法.这三种解法开阔了解题思路,各有其特点,下面将通过实例,依次进行介绍.
一、坐标法
通过建立坐标系,把几何问题“翻译”成代数问题,用代数方法来研究几何图形的形状、位置关系和大小的方法叫做坐标法,又称解析法.坐标法的核心思想是几何问题代数化、图形性质坐标化.
用坐标法来求解几何问题的一般步骤为：
第一步,在所讨论的几何图形上建立适当的坐标系,其中原点、坐标轴的选取要使计算尽可能简单.
第二步,用坐标形式把已知条件表示出来,把几何问题“翻译”成代数问题.
第三步,选取合适的计算公式和途径（如消元法、韦达定理与判别式等）,进行坐标系内的推理演算,得出代数结论.
第四步,把代数结论“翻译”成相应的几何结论.
下面举例说明.
例1 一个需要磨削加工的零件尺寸如图1所示,磨削加工的过程中需要知道点到直线的距离,试求出这个距离.
解：在图1所示的坐标系中,点O为原点,设点M的坐标为（x1,x2）,则x1等于-19.58,y1等于16.82-5.82等于11
因为直线MN的倾斜角
α等于180°-57°27´
所以kMN等于tan（180°-57°27´）等于-tan57°27≈-1.5667
由点斜式方程得直线MN的方程
y-11等于-1.5667（x+19.58）
即1.5667x+y+19.676等于0
由点到直线的距离公式得所求距离
坐标是几何代数化的产物,是点与数的统一体,它同时具备形与数的特性,为用数量关系来研究几何图形性质创造了条件.坐标法经常用于求解线段的长度、角的度数、特殊点到直线的距离等问题.
二、三角法
三角法,主要是以几何图形中的三角形为基础,应用三角函数定义及三角形的正弦定理、余弦定理、面积公式等来解题的方法.
运用三角法求解几何题的一般步骤为：
第一步,根据题意,找出已知量和未知量,画出符合题意的示意图.
第二步,建立一个解三角形的模型,使已知量和未知量产生直接或间接的联系.
第三步,用解三角形的方法解决所提出的问题.
第四步,把代数结论“翻译”成相应的几何结论.
例2 车削如图2所示的端面圆头,试根据图示尺寸计算出锥形部分小端直径d和圆头宽度t.
故∠OBC≈52°5´
所以∠BOC等于180°- 85°- 52°5´
等于 42°55´
∠AOB等于90°- 42°55´等于47°5´
所以AB等于OBsin∠AOB等于24sin47°5´≈17.576
AO等于OBcos∠AOB等于24cos47°5´≈16.342
故d等于2AB等于2×17.576≈35.15
t等于R-AO等于24-16.342≈7.66
即 锥形部分小端直径为35.15,圆头宽度t为7.66.
三角法在实际生活中运用非常广泛,经常用于解决某些特殊距离问题、测量角度问题、航海问题等.很多著名的几何定理都可以用三角法证明,比如,梅内劳斯定理、赛瓦定理、托勒密定理、蝴蝶定理等.这种方法的优点是不做或少做辅助线,把几何变换和复杂的演绎推理转化为角的函数关系或边的运算关系,思路清晰,简单明了.
在具体的解题过程中,有以下几个注意事项：
（1）思路要开阔,不仅可以利用正弦定理、余弦定理、面积公式,还可以利用三角不等式、三角恒等式、三角方程、反三角性质等解决几何问题.
（2）遇到较为复杂的问题,可以分解为几个小三角形进行分析.
（3）可适当引入参量辅助解题,引入过程中要确定参量与其他变量的取值范围和适用条件.
三、向量法
复数、复平面上的点和复平面内以原点为起点的向量,这三者之间存在着一一对应的关系.向量具备了代数与几何的双重性,这就为利用复数或向量求解几何问题提供了可能性.所谓向量法,就是指利用向量的运算及有关性质来研究分析几何图形性质的方法.
用向量法解几何题一般分为三个步骤：
第一步,把问题中所涉及的几何条件“翻译”成向量关系.
第二步,通过向量之间的运算或利用向量的性质,得出新的向量关系.
第三步,把新的向量关系重新“翻译”成几何结论.
例3 已知AD、BE、CF是ΔABC的三条高,DG⊥BE于点G,DH⊥CF于点H,求证：HG∥EF.
用向量语言表述图形的性质和变化性质,结合解析几何、三角函数、不等式、力学等知识进行向量运算,这对顺利解决几何问题起着重要的作用.利用向量的数量积及线性运算可以解决平面几何的共线、平行、垂直、夹角、线段长度等问题,用向量的代数运算或坐标运算等方式可以解决立体几何的线面平行、垂直、夹角及二面角等问题.向量法操作简单、直观形象、计算简捷,是数学中数与形的完美结合.
几何问题的代数解法（以数助形）是“数形结合思想”的体现,它应遵循以下三个原则：等价性原则、双向性原则和简单性原则.等价性原则是指“数”的代数性质与“形”的几何直观间的转化必须是等价的,即问题的形和数所反映的数量关系必须具有一致性；双向性原则是指将几何图形的直观与代数数量的抽
象联系起来,代数表达及运算比几何图形及结构有其特有的优越性,能弥补几何方法的很多局限性,体现了“数”与“形”的和谐统一；简单性原则是指数与形在转换时要尽可能让几何图形清楚美观,代数计算简洁明了.
总之,几何问题代数化的内涵就是将直观形象的几何图形结构和精确抽象的数量关系有机结合起来,借助于数的规范性和精确性来阐明形的某些属性,既分析了其代数意义,又揭示了其几何意义.在解决问题的过程中,这种方法既深化巩固了学生所学的几何和代数知识,又培养了学生的逻辑思维能力、空间想象能力、分析与解决问题的能力、创新能力及计算能力等.所以,在数学教学过程中,教师应重视对这种数学思维方法的培养.
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