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致广大而尽精微
即使埃斯库罗斯被人们遗忘了,阿基米德仍会被人们记住,因为语言文字会消亡而数学概念不会.“不朽”可能是缺乏理智的用词,但或许数学家最有机会享用它,无论它意味着什么.
——G·H·哈代
在现代科学中,很难想象有什么问题能简洁而清晰地提出,但解答过程却漫长而久远,在浩如烟海的知识进攻下岿然不动.如果要揪出一二,那么或许该将矛头指向现代数学发展史,指向令世间智者困扰358年的费马大定理,以及首个获解决的千禧年大奖问题——庞加莱猜想……
数学是一种最纯粹的思维形式,对局外人而言,它似乎总和枯燥、乏味脱不开干系.但在宋春伟的认知中,人们普遍的误解似乎只不过予以数学一层神秘的面纱,“无论是专业的数学工作者,还是初踏入研究生院抑或跨入大学殿堂不久的年轻学生,乃至对数学产生懵懂兴趣的幼童,只要‘开了窍’,大抵都能感受到数学的美和纯净.”
在组合数学这一现代研究领域,宋春伟尽可能开垦出一片天地,他说因为兴趣所在所以甘之若饴.研究过程中面对不可预期结果与进程的困难,焦虑感与沮丧感也会存在,但并不会成为他享受突破重围那一刻狂喜的绊脚石.不为名利所困,不挂焦躁之态,宋春伟秉持学者为己的信念而行,致广大视界于数学问题研究的精微之地.
幼禀天赋,选择与坚持
“和人们想象不同,数学的成分并不主要是计算,它更需要严谨的证明来确立结论,也需要对数学理论和现象的深刻理解.”数学更贴近于哲学,因反映客观真理、不以人的意志转移而独具魅力.
在四五岁的年龄,宋春伟已经表现出特殊的天赋.他酷爱数学,能够心算比较复杂的乘除法,成为远近闻名的神童,“那个年代很多小孩子都立志做‘科学家’,数学好的则特别指明要做数学家,我也不例外.不过我属于比较有根据并且一直坚持下来的.”经过选拔,宋春伟从小学到中学参加了各类奥数竞赛,每个周末都参加全市统一组织的奥校,不断获得免试或保送资格,直至作为奥数比赛优胜者进入吉林大学数学系的国家数学基地班.稍早时候,他的一位中学学长,东北第一位I M O金牌得主俞杨也选择了来吉林大学数学系求学.但当时吉林大学数学系最具优势的学科为偏微分方程和计算数学,宋春伟了解后发现自己志不在此,于是决定在研究生阶段赴海外去看看.
凭借优异的成绩,他获得全额奖学金前往美国宾夕法尼亚大学数学系攻读直博.宾夕法尼亚大学是冯友兰的讲学之处、梁思成的求学之所,数学系更有着Calabi、Kadison、Kirillov等多位名家大师.在那里,宋春伟感受到浓郁、活跃的学术氛围.宾夕法尼亚大学数学系教授He r b e r t S.W i lf曾获得美国数学会St e e l e杰出研究奖,其学术渊深而富有智慧,给予他很多启发和帮助.在读书的那些年,著名组合学家Persi Diaconis、Noga Alon、GeorgeA n d r e ws等都来做过报告,会后宾主共进晚餐,宋春伟遂得以增广见闻.而后Wilf退休,他师从James Haglund教授,并以组合数学为自己终生从事的志业.
博士毕业后,宋春伟先后赴美国波士顿学院、日本工业大学任教.其中,他在工业大学是作为该校每年全球选聘两人的“先端特别数学讲座”主讲教授,也是当时工业大学众多中国学生学者里唯一的一位独立教员.他说,因为回国工作是自始至终的夙愿,所以一直都在找机会,于2006年入职北京大学实在是莫大的幸运.“北大数学系是中国现代第一个大学数学科系,从1913年算起已百年有余.这里云集了国内优秀的数学人才,有着深厚的学术积淀和纯净的研究氛围,这是最吸引我的地方,也让我最有归属感.”在北京大学数学科学学院优越宽容的环境下,宋春伟得以潜心治学,“探组合之谜,究天人之道”.不标榜成绩,常存敬畏之心,他继往而弥新,在前人研究的精髓之上突破、创造.
匠心独具,做优美的数学现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的,如分析、方程等；另一类就是研究离散对象的组合数学.提出问题,从特殊现象出发,归纳成为抽象理论且加以推广,或简化原理、加深理解,或理论统一、付诸应用领域,数学发展如此,组合数学发展亦如此.从宋春伟的介绍中,记者了解到,组合数学是一门研究满足一定条件的组态存在性、计数、构造及获得极值等方面问题的学问.大部分组态呈现高度的规律性,“比方说,在极值图论中有一个以匈牙利数学家Turán命名的定理：在所有n个顶点而不含k-团的图中,边数最多的图是一种尽量均匀对称的(k-1)-部图,并且这种图是唯一的‘极图’”.
宋春伟说,数学有些东西不深入了解便无法窥得其中奥妙,由于现代工业文明的高度分工,很多研究看不出直接应用在哪里,但实际上其正在为科学发展和技术突破提供支撑、相互推动.
作为基础数学古老而又新兴的分支,组合数学受计算机发明产生的连带效应影响发展迅速.“离散对象的处理是计算机科学的核心,研究离散对象的组合数学因此得到迅猛发展.理论计算机领域特别是算法分析相当依赖组合数学.反过来,计算机科学中的问题成为组合数学发展的一个重要源泉.另一方面,我们的研究工作虽然很大程度上仍依靠人的创造力和灵感,但日渐强大的计算机也为解决难题提供了便利.”宋春伟解释道.
将计数组合学与图论作为主要研究领域,宋春伟表示,格路径、组合统计量、置换、集合划分等是他研究的主要对象,同时也会涉及到图论中的重要参数、有关极值的研究以及图的计数等.“组合数学的要旨之一是‘不计而计’,强调有意义的双射和组合阐释.”在远古时代,人们便有着计数的行为,利用树枝、石子等进行简单计数.随着文明的进步发展,简单计数已经无法满足需求,用现代数学工具武装起来的计数组合逐渐发展成一门公理化、体系化的学问,日益受到数学家们的重视.“有时候我们可能得不到准确的结果,但可以获得一个近似的结果.我所关注较多的是图中有重要意义的参数和一些极值的性质.这些和计数始终有着关联.”宋春伟说.回国后,受到原“973”项目、国家自然科学基金的资助,获首届“黄廷方/信和青年杰出学者奖”等,他坦言心存感激.
宋春伟提出并发展了一些优美的数学定理,他的研究成果往往有独得之妙.着眼于广为关注的卡特兰数研究,他早期就曾引入一种称为“置换路”的相当直观的格路径,并找到其与n阶置换群之间的一种保组合统计量的双射,这个映射当限制在Dy ck路上时恰好成为保组合统计量的312-禁模式置换与Dyck路之间的对应.与特殊计数序列相关的关于组合统计量的研究牵涉到组合学的核心,在近年的研究中方兴未艾.他得到的关于m-Schr?der路径的计数结果被数学家S l o a n e的整数序列大百科网站OEIS收录为新的数列.
在n阶置换群上关于两个组合统计量d e s和i n v的联合分布多项式可以看作欧拉多项式的关于逆序数的q-模拟.著名组合数学家Stanley等给出过它的生成函数表达式.由于可以在n乘n格板上表示置换,宋春伟和合作者考察的更一般的限制在Fe r r e rs板上的那些置换的联合分布多项式就成为一种推广.他们找到一个通过关于Fe r r e rs板内格路径面积多项式的“正行列式”来表示该联合分布多项式,如果限制在截角方板上还有更明确的表达式,可以从另一个角度解释金芳蓉教授等获得的一个结果.因为以上这些工作,美国斯普林格出版社邀请他撰写一部关于格路径和特殊计数序列的专著.
在标记树的计数方面,宋春伟证明了n+2个顶点之上、使得0的最小邻居是叶子的标记树之个数恰好为n n,并且随着n的增大,这种树出现的概率将逼近e-2.这可以称之为幼子独身树的计数定理.时至今日得到这种形式如此简单的、前人没有发现的结果确实有些令人惊讶.另外,该形式还可以推广到具有遗传性质的代代幼子独身树,获得有关的结果.
宋春伟的另外一个研究重点是关于极值图论、图的参数和图的结构以及与概率有关的组合数学.他近期研究过一个有趣的与概率相关的问题.假设女孩投掷的硬币正面向上的概率为q,而男孩投掷的硬币正面向上的概率为p,但q<p,即男孩有利.令f(n)表示n次后女孩比男孩的硬币正面多的概率,这是一个有些复杂的二重求和.他的老师W i l f与合作者证明了f(n)是单峰的,并且通过勒让德多项式给出差分的表达式,但是他们的证明需要依靠多元形式的Zeilberger算法.宋春伟和合作者的工作则通过积分表示给出了更一般的允许女孩多掷r次、考虑女孩比男孩多得到至少d个正面的概率问题,这就多了两种维度.从他们的结果可以得到W i l f等人的结果,并且仅仅用到了概率分析,在方法上更值得关注.
“当今,数学发挥着越来越大的作用.它不仅仅是工具,更是一种文化,这种文化体现了一种探索精神.”迎难而上,宋春伟针对现代组合学先驱Herbert J. Ryser提出的关于r-部超图上匹配数与覆盖数的猜想开展了研究.经过一番尝试、求索,他同合作者转换思考角度,给出了临界情况下相交超图最少边数的一些构造和证明.他们的研究成果获得国际上领域内人员的广泛引用和认可.
建设中国的组合数学
由于需要传承和积累,和多数自然科学的分支不同,数学家天然兼具研究和教学两方面的职责.
在日本工业大学授课时,宋春伟用英文写过一部题为“T o p i c sin Advanced Combinatorics: ExtremalC o m b i n a t o r i c s a n d A l g e b r a i c/Probabilistic Methods”的讲义.回国后他曾给有关专家看过,但没有正式出版.后来将讲义中的一些材料融进合作的《组合数学》一书中,形成关于代数方法和概率方法的两章,而这两部分内容在国内著作中是比较新颖的,起到介绍新知识的作用.书中的很多内容体现了他的组合数学思想.
宋春伟表示,如今许多青少年未能充分感受到数学的美和纯净,他们或是尚未接触到最优雅的数学,或是因课业压力、缺乏足够的引导等客观原因使然.不过他坚信,数学研究不会因此而蒙尘,因为只要踏入数学花园略窥堂奥即不难欣赏到数学之美的动人心魄.他指出,数学的强大在于其为自然科学的基础,在人才的培养上有着不可替代的作用,于国家而言是长远发展核心竞争力的关键.如同华罗庚在《大哉,数学之为用》一文中的精彩论述：数学是一切科学得力的助手和工具.宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁等各个方面,无处不有数学的重要贡献.
“读史阅世,我认为人生该当尽到社会责任,同时亦尊重各种各样的生活方式.然而做学术相较于其他报酬更高的工作,这两者对我来说,吸引力可说是云泥之别.”宋春伟说.即使今天,面对国外高校抛来的条件优厚的橄榄枝,他不为所动.他欣然看到如今国内治学研究的发展变化,看到更多优秀的年轻人选择数学、在国内脱颖而出或者学成归国,更多年轻一代从重视物质、生存、实用的价值观中脱离出来,视兴趣为人生选择的重要标尺.
在学术服务方面,作为一名“外国专家”,宋春伟应邀为美国国家安全局评审基础数学方面的基金项目、为南非评审“国家研究者”.他兼任中国数学会理事、北京数学会常务理事和秘书长,在中国科协组织的“中学生英才计划”学生团、全国中学生“数学之星”夏令营面向青少年作科普报告.
致力于学术的同时,宋春伟还是一位严格但又开明的老师.他认为对博士生来说,应以学术志业为主要目标,自己新培养的博士生最理想的出路应是留在大学任教、继续从事组合数学研究.但同时他强调,希望学生首先做一个正直、有责任感和幸福的人,要有风骨,人生规划应切合自身实际.针对学生的多元化选择,宋春伟表示尊重,他希望无论是日后投身学术研究还是进入企业谋职,每一个人都能在各阶段有所收获,成为有益于社会的人才.
“理想中,学者所有的时间都属于学术时间”,宋春伟钟情于纯粹的智识学术,特别看重智力价值和精神财富.他不是普通意义下的工作狂,然而觉得度假、锻炼等生活的每一时刻都可以看作学术人生的一部分,这是学者浑然天成的生活方式.带着这样的想法,宋春伟对未来有一份希冀：再建立几个重要的定理,发展更有影响的理论,培养一批优秀的学生,为北京大学的组合数学建设、组合数学在中国的发展做出有力贡献！科
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