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排列组合的几种解题方法分析
张雄风
（湖南省浏阳第一中学,湖南 浏阳410304）
【摘 要】排列组合内容独特,而且题目较为灵活,解题的思路也多种多样,学生在解答排列组合问题的过程中常常会出现重复计算和漏算的错误,这类问题又无法对其计算结果进行检验,所以它是高中数学学习的一个重难点.接下来本文主要对排列组合的解题方法进行归纳分析.
【关键词】高中数学；排列组合；解题方法
一、概述
排列组合与我们的生活息息相关,而且灵活多变,同学们通常都很难把握.但只要对排列组合的解题方法进行归纳总结,做到了然于心,看到题目就知道用哪种解题方法进行解题,这样将会大大增加学生对排列组合的掌握程度.排列组合解题方法主要包括分类与分步法、特殊元素优先考虑法、混合问题先选后排法、否定问题淘汰法和相邻捆绑法,相隔插空法.
二、几种常见方法
1.分类与分步法
在解答题目中含有限定条件这一类排列组合问题时,我们应该先将题目中所提到的元素按照其特性进行分类,然后按照事件的先后顺序对题目进行分步解答,同时保证每一步都是相对独立,不要算重或漏算.在最后的计算过程中要注意计算法则分类则和,分步则积.例如：有五个苹果排成一排,其中甲苹果不能排在排头,乙苹果不能排在末尾,问共有几种排法？分析:根据题意我们可以先排甲,对甲的位置进行讨论：1)若将甲苹果排在末尾,那么剩下四个苹果就可以任意排了,共有A种排法；2)若将甲苹果排在第二,第三或第四个位置上,则有AAA3种排法,然后根据排列组合中分类计数原理,将所有结果进行相加,共有A+AAA等于78种排法.
2.特殊元素优先考虑发
在一道排列组合题目中如果含有某个特殊元素,一般我们应优先考虑特殊元素,从特殊元素着手,然后再考虑其它元素的排列组合问题.例如有五张卡片,卡片上依次标注的数字为0,2,3,4,5,选择三张卡片组成一个三位数,问组成的三位数中有多少是偶数？分析：根据题意要求组成的这个三位数是偶数,所以最后一个数字一定要是偶数,只能是0或2或4,又因为0不能排在首位,所以本题中0就是特殊元素,应优先考虑.根据0排放的位置我们将0分成两类,:1）0排末尾时有A个；2)0不排在末尾时,则有个AAA；根据分类计数的原理,总共有A+AAA等于30个.
3.混合问题先选后排法
对于排列组合中混合类的问题,我们一般可以先将所需的元素选出来然后再对元素进行排列组合.例如4个不同小球滚入四个不同的小洞中,正好有一个空洞,问小球共有多少种滚法？分析:题目中提到正好一空的洞,所以肯定有一个洞中滚入了两个小球.首先我们先将2个小球选出来,从4个中选2个,共有C种选法；接下来在从4小洞中选3个洞来装小球,共有C种选法；然后把选出来的的2个小球看成是一个小球,这样就变成了3个小球,3个球滚入3个洞有A种滚法,再根据分步计数的原理共有CCA种滚法.
4.否定问题淘汰法
对于排列组合中含有否定意思的问题,可以从整体中把不符合条件的去除,但需要注意的时一定要细心,不能除去多了或者少了.例如在方法2中的例题,就可以用此种方法来解答：5张卡片排成三位数,共有A种排法,但0不能排在首位,所以需要去除这种情况；而且因为是偶数所以3、5不能排在最后一位,所以也要去除.故共有A-A-AAA等于30.
5.相邻捆绑法,相隔插空法
在解答几个元素相邻的排列组合问题时,我们应先从整体进行考虑,将题目中要求相邻的元素捆绑成一个元素进行排列组合,然后在对捆绑的部分进行排序,这种解题的方法就叫捆绑法.例如有8本不同的书；包括3语文书,2本化学书和3本其它学科的书籍.把这些书排成一行,但要3本语文书必须排在一起,2本化学书也必须排在一起的排法共有多少种？分析：首先把3本语文书看成一个整体,2本化学书看成一个整体,这样加上其他3本书,就相当于5个元素,全排列共有A种排法；3本语文书有A种排法,2本化学书有A种排法；然后根据分步计数原理共有AAA等于1440种排法.在解决排列组合中要元素不相邻的问题时,可以先将其它的元素排好,再将指定的不相邻的元素插入到已排好元素的间隙或两端位置,这就是插空法.例如原有6张不同的纸牌,若保持这些纸牌的相对顺序不变,再添加进去3张纸牌,问共有多少种不同的添加方法？分析：本题直接解答比较麻烦,可根据插空法去解题,6张纸牌中间加两端正好有7个空,可先用一张纸牌去插这7个空位,这就有7种插法；然后再用另一个纸牌去插现在的8个空位,就有8种插入方法了；最后再用剩下的一张纸牌去插目前的9个空位,有9种插入方法,由乘法原理得：所有不同的添加方法为7*8*9等于504种.
三、结语
综上所述,排列组合是高中数学学习的重要环节,我们应对其足够重视.只有掌握了解题方法,我们才能更加容易的去解答排列组合这类题目.以上的几种方法还远远不够,我们要在以后的学习中加以总结,并能学以致用,这样我们对排列组合的理解也将会更加深刻.
【参考文献】
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几种论文范文结:
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