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结合专业前沿的高等数学教学

1 引言

“高等数学”课程是高等院校各理工科专业重要的公共基础课程.学分比重大,学生难掌握,使用频率高,使得探讨高等数学授课方法、提高授课效果,具有非常重要的意义.随着国家对应用型本科人才需求的扩大,培养学生的各种逻辑思维能力以及解决实际问题的能力等都是高等院校需要完成的教育任务.在这个过程当中,高等数学课程的作用是其他课程难以代替的.但是高等数学教育过程中存在着一些问题,被众多教师学者广泛注意到并试图努力解决的有：[1-4]内容常年不变,与专业基础课、专业知识联系不紧密,教学手段固定等等.较之数学专业的学生,工科学生更需要加强对数学知识的应用能力的培养,即数学知识与本专业的结合,尤其是本专业前沿知识的结合.本文将通过两个适用于材料专业的实例,讨论如何将数学知识与其专业中新型材料的知识相结合进行讲解,为高等数学教学改革添砖加瓦.

2 利用微积分思想介绍一种新型材料

在微积分学习过程中,学生经常会感觉枯燥乏味,对其进行简单背诵套用,却对思想不求甚解,因此会出现“学得慢忘得快”的现象.因此,在讲解过程中可与实例进行结合,使抽象的思想具象化,便于学生理解掌握.并且对于应用型大学来说,抓住学生急于将新知识与实践相结合的心理,此时将实例引入,不仅仅会让学生耳目一新,更会缓解学生浮动焦躁的情绪,使学生的学习更有目的性.通过实例,让学生明白微积分除了作为高数课程的核心内容,其理论非常重要,其还可以作为一种严谨的科学思想,渗透到应用以及科研等各个方面.此处就以对材料学科学生在微积分内容讲解中引入新兴的功能梯度材料为例,介绍了新材料,介绍了微积分知识在新材料的研究中的应用.力求“知识新,求解易”,既引入了新知识,便于学生理解,又不能增加课程本身的难度.

功能梯度材料（functionally graded materials 简称FGMs）是一种新型材料,最早由日本科学家新野正之、平井敏熊和渡边龙三等提出.[5]其材料组分在一定的空间方向上连续变化,使界面消失,材料性能随着材料的组成和结构变化而缓慢变化,因此可用作界面层来连接不相容的两种材料,减小残余应力和热应力.功能梯度材料由于本身具有优异的性能以及它所体现出的新颖的材料设计思想,一经提出,立即引起学者们的高度重视并对其展开研究.图1给出了功能梯度材料的示意图.在对含有功能梯度材料的复合材料进行计算时,由于材料参数的多样性(刚度系数、压电常数、介电常数等),如果需要考虑的参数多,直接计算的话,计算量非常大.此时,由于观察到功能梯度材料的材料参数连续变化,体现在数学上,为关于坐标的连续函数,因此在很多时候,能够把微积分的思想融入计算过程中,再结合其他方法（此处为传递矩阵法）,将会极大地简化问题.此处不妨设功能梯度材料的材料属性随x 坐标发生改变,例如密度籽等于籽（x）.求一块体积V(等于Sl)的功能梯度材料的质量,其中S 为底面积,l为此块材料的长度,如图1 所示.

计算密度处处不同的物块的质量,可以直接用积分的方式进行计算,

模型可以很好地逼近物块的实际重量.同理,物块的其他属性(刚度系数、介电常数等)也可以通过相似的计算过程得到.在实际的工程应用中,如果更注重计算的速度并且可以接受部分计算精度的损失,通过省略式(4)的求极限过程,将积分问题转化为更为简单的求和问题,在误差允许范围内,将会大大降低计算难度,节省大量计算时间.在此基础上,如果需要更高的精度,可以通过在式(3)中,增大n 的值,也就是增加分割的层数来实现.

可见,在这一问题中对微积分的利用,不仅仅将其作为一种数学工具、一种计算手段,还充分利用了微积分的思想解决问题,回归了微积分的本质.因此可以增强学生对“为什么要学习微积分”“微积分是如何诞生的”“如何利用微积分知识解决实际问题”都有了很好的解答,同时,结合了材料专业的前沿知识,不仅仅增加了课程的新鲜度和趣味性,还对学生将来进一步地学习科研进行了科普与引导.

3 微分方程求解周期复合材料的本构方程

在材料学科的专业课“弹性力学”[6]当中,介绍了完全弹性的各向同性体内,材料的平衡微分方程、几何方程和物理方程,它们都是非常典型的微分方程.对这些方程的求解,书中有了充分的介绍.此处,将这类问题进一步深化,研究各向异性材料的本构方程求解问题.这里采用的材料为由各向同性材料(材料1)与横观各向同性压电材料(材料2)交替排列构成的一维层状周期结构,这种复合材料也是一种新型功能材料[7],由于其结构的周期性,能够实现一定频率范围内波的传播被禁止,而在其他频率范围内可以无损耗地传播,使得结构有了滤波、选波的功能.其结构示意图如图2 所示.

当面内波在其中传播时,可以分别得到两种材料的本构方程,此处以其中一种(材料1)为例：

对于B,D,F 能得到同样的结论.明显地,从方程(8)中,可以得到3 组(6 个)关于变量的解析表达式,代入方程组(6)当中,此3 组解分别表示沿轴正向及负向传播的波、沿轴正向及负向传播的波以及一组电势波,实现了数学结果与物理意义的最终汇合.

总结这一问题的计算过程,可以发现,在计算中融合了物理、偏微分方程以及线性代数的相关知识,缺一不可.若单纯将其作为一个数学问题来看,将不利于方程求解.这种求解模式脱离了学生更习惯的、建模式的“分析问题、建立数学模型、求解数学问题、分析答案”的思路.从这一问题的讲解过程中,可以让学生体会到,数学是学习其他课程必需的工具,却不是完全脱离专业课内容的独立的计算工具.某些情况下,若能与实际相结合,可能大大简化计算过程.过于依赖数学本身的计算能力,将其与专业知识完全分割开来,有时会得不偿失.

4 意义

4.1 有助于提高学生的学习兴趣

区别于传统的理论教学,以实际问题同时也是专业前沿问题为引导,带领学生深入了解数学思想在实际中的应用,将课程的理论性、技巧性与应用性相结合,调动学生的学习兴趣,引导学生思考数学知识在实际当中的应用.学生在学习过程中往往会有“学了有什么用”的困扰,将数学知识与专业知识相结合,一方面能够提高学生的学习兴趣和运用数学知识的能力；另一方面与专业知识学习有承接作用,使学生加深印象,需要时能够及时回忆起相关数学知识点.

4.2 改变学生观念

许多学生在学习时,非常重视高等数学等基础课,却忽视了专业课.通过例题的讲解,可以让学生发现,科学研究是一门综合多种学科的活动,单纯依赖数学知识,而忽略了专业知识,将不能够发挥数学工具的最大作用.将各个学科的知识完美结合、交叉运用,才能在解决实际问题的路上走得更远.

5 结语

如何培养和提高学生的数学应用能力,是教师们在高等数学课程的讲授过程中思考的重要问题之一.在本文中,我们做了一点尝试,简单地讨论了如何将专业前沿知识与高等数学课程的讲解相融合,以期优化教学效果.

高等数学论文范文结:

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