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例析一线三等角的应用
王永强
山西省大同市第二中学校(037000)
在解决几何问题中,经常遇到"一线三等角"这一数学模型.如图1,点D、C、E在同一条直线上,∠3等于∠D等于∠C等于 α,这一图形为"一线三等角"的数学模型.
在学习三角形全等和相似时,从复杂图形中分离出基本数学模型,对解决问题有化繁为简的效果.在中考试题中,经常可以看到"一线三等角"的数学模型.本文通过以下例题分析"一线三等角"在解决几何问题中的应用.
1"一线三等角"中, α等于90°
例1如图2, RtΔAEB的直角顶点E在直线GH上,∠AEB等于90°,AM⊥GH于点M,BN⊥GH于点N.
（1）求证：△AME∽△ENB
（2）若AE等于BE,求证：AM+BN等于MN.
分析：如图3,本题是"一线三等角"中三个角都是直角的模型.图中有三个直角三角形,分别是 RtΔAEB 、RtΔAME和RtΔENB, RtΔAEB 的两条直角边分别是RtΔAME和 RtΔENB的斜边.∠1+∠2等于90°；又因为∠1+∠5等于90°,可得∠5等于∠2,从而证明△AME∽△ENB;若AE等于BE,则△AME≌△ENB,得到AM等于EN,ME等于NB,解决问题.
（1）证明：如图3,∵∠AEB等于90°,∴∠1+∠2等于90°.
∵AM⊥EF,BN⊥EF,∴∠3等于∠4等于90°.
∴∠1+∠5等于90°.∴∠5等于∠2. ∴△AME∽△ENB.
（2）证明：如图3,由（1）得：∠3等于∠4等于90°,∠5等于∠2,
又∵AE等于BE,∴△AME≌△ENB.∴AM等于EN,ME等于NB.
∴AM+BN等于EN+ME等于MN.
知识应用：
1.1如图4,在矩形ABCD中,点E在CD边上运动,不与点C、D重合,连接AE,作EF⊥AE交直线BC于点F.
（1）若EC等于AD,求证：AE等于EF;
（2）若AB等于6,AD等于3,DE等于4,求EF的长.
分析：不管点E在CD边上如何运动,都是例1"一线三等角"中三个角都是直角的模型.问题（1）与例2解决方法类似,当有一组边对应相等时,可证明两个三角形全等,即证明△ADE≌△ECF解决问题;问题（2）中,没有一组对应边相等时,△ACE∽△EDF,由相似三角形对应边的比成比例可以解决问题.
解：（1）如图5,∵四边形ABCD是矩形,∴∠3等于∠4等于90°.
∴1+∠5等于90°.∵∠AEF等于90°,∴∠1+∠2等于90°.
∴∠5等于∠2.又∵EC等于AD,∴△ADE≌△ECF.∴AE等于EF.
（2）如图5,∵四边形ABCD是矩形,∴∠3等于90°,DC等于AB等于6.
∴EC等于DC－DE等于6－4等于2, AE等于AD2+DE2等于32+42等于5.
∵∠3等于∠4等于90°,∠5等于∠2,∴△ECF∽△ADE.
∴EFAE 等于ECAD.∴EF5等于23 .∴ EF等于103.
答：EF等于103 .
1.2如图6,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP>AM）,点A和点B都与点E重合；再将△CDQ沿DQ折叠,点C落在线段EQ上的点F处.
（1）判断△AMP,△BPQ,△CDQ和△FDM中有哪几对相似三角形？
（2）如果AM等于1,sin ∠DMF等于35,求AB的长.
分析：本题的问题情境是矩形中的折叠问题,仍然是例1"一线三等角"中三个角都是直角的模型.
解：（1）如图7,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B等于∠C等于90°.
∴1+∠5等于90°.由折叠知：∠1等于∠4,∠2等于∠3.
∵∠1+∠2+∠3+∠4等于180°,∴∠1+∠2等于90°,∠4+∠3等于90°.
即∠PQD等于90°.∴∠2等于∠5.∴△BPQ∽△CQD.
同理：∠MPQ等于90°,△BPQ∽△AMP.∴△CQD∽△AMP.
∴有三对相似三角形：
△BPQ∽△CQD,△BPQ∽△AMP,△CQD∽△AMP.
（2）如图7,设AP等于 x,由折叠知BP等于EP等于AP等于x ,AB等于DC等于2x ,∠DFQ等于∠C等于90°,∴∠DFM等于180°－∠DFQ等于90°.
解：如图9,过点E作 轴于点G.
∵四边形OABC是边长为2的正方形,点D是OA的中点,
∴OA等于OC等于2,OD等于1,∠AOC等于∠DGE等于90°.
∴C（0,2）,∠OCD+∠ODC等于90°.
∵DE⊥DC,∴∠CDE等于90°.∴∠GDE+∠ODC等于90°.
∴∠GDE等于∠OCD.又∵DE等于DC,
∴△ODC≌△GED,∴EG等于OD等于1,DG等于OC等于2.
∴点E的坐标为（3,1）.又∵抛物线的对称轴为直线AB,即 x等于2,
∴设抛物线的解析式为y等于a(x-2)2+k .
∵抛物线经过C（0,2）,E（3,1）两点,
2"一线三等角"中, α等于60°
例2如图10,△ABC是等边三角形,点D为BC边上一点,点E、F分别在AB、AC上,且∠EDF等于60°.
(1)求证：△BDE∽△CFD,
(2)若DE等于DF,求证：△BDE≌△CFD.
分析：本题是"一线三等角"的模型,只不过把直角换成了60°的角,证明方法类似.
（1）证明：如图11,△ABC是等边三角形,∴∠B等于∠C等于60°.
∴∠1+∠3等于180°－∠B等于180°－60°等于120°.
∵∠EDF等于60°,∴∠1+∠2等于180°－∠EDF等于180°－60°等于120°.
∴∠2等于∠3.∴△BDE∽△CFD.
(2)证明：如图11,由（1）知：∠B等于∠C,∠2等于∠3,又∵DE等于DF,∴△BDE≌△CFD.
知识应用：
2.1如图12,已知△ABC是等边三角形,点E在线段AB上,点D在直线BC上,且ED等于EC.将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF,连接EF.求证：AB等于DB+AF.
分析：如图13,本题是"一线三等角"中 α等于60°的模型.应用例题方法易证∠1等于∠5.由ED等于EC,可得∠D等于∠5,由此可得∠D等于∠1.由旋转得BE等于AF,由图知AB等于BE+AE,要证明AB等于DB+AF,只需证明BD等于AE.问题转化为证明BD和AE所在的两个三角形全等,即证明△BDE≌△AEF.
证明：如图13,∵△ABC是等边三角形,∴∠3等于∠4等于60°.
∴∠2+∠5等于180°－∠3等于120°,∠7等于180°－∠3等于120°.
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF,
∴CE等于CF,∠ECF等于60°,BE等于AF,∠6等于∠3等于60°.
∴△CEF是等边三角形,∠EAF等于∠4+∠6等于120°.
∴∠FEC等于60°,∠EAF等于∠7.
∴∠2+∠1等于180°－∠FEC等于120°.∴∠1等于∠5.
∵ED等于EC,∴∠D等于∠5.∴∠1等于∠D.
∴△BDE≌△AEF.∴BD等于AE.∴AB等于AE+BE等于BD+AF.
通过以上例题发现,"一线三等角"模型中,如图14,若∠3等于∠D等于∠C,则∠2等于∠A,∠1等于∠B.
证明：∵∠1+∠2+∠3等于180°,∠1+∠A+∠D等于180°,∠3等于∠D,
∴∠2等于∠A.同理：∠1等于∠B.
当有一组对应边相等时,可证明△ADE≌△ECB；当没有一组对应边相等时,可证明△ADE∽△ECB.在解决几何问题时,如果熟悉"一线三等角"的模型,可以利用全等或者相似快速解决问题.
"一线三等角"是在实践操作中发现的一种数学模型,广泛应用在很多的数学习题中.新课程标准和教育发展纲要指出,培养学生数学建模的能力,提高其创造力,是教学中的重点,中考也在逐步转向,变考知识为考能力.在实践中,培养学生进行类比研究,不断发现问题的异同点,引导他们归纳总结,应用发展,可以构造出很多类似的数学小模型,从而达到提高学生学习数学的兴趣,开发学生智力水平,引导他们进行研究创造的目的.
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