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大数定律教学设计探究
邱志平
（福建省泉州市华侨大学数学科学学院,福建泉州362021）
摘 要：本文对大数定律的来龙去脉进行研究,且借助R语言随机模拟的方法对其进行实证分析,使学生对大数定律有更加直观的认识,提高学生的学习兴趣与教学效果.
关键词：大数定律；教学；R语言
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）03-0153-03
基金项目：福建省自然科学基金项目,基金号：2015J01583
大数定律是概率论与数理统计中非常重要的内容,它揭示所有的偶然现象背后所隐藏的必然规律.它既是前面概率论内容的一个补充,又为数理统计提供了理论基础,人们形象地称之为“统计学的灵魂”.从而,如何让学生掌握这节课的内容非常重要.但由于这节较为抽象,理论性也较强,从而很多学生从这一节开始对概率论与数理统计的学习感到吃力,对概念的理解也很模糊,逐渐地失去了学习的兴趣.基于这种情况,在教学过程中试图作如下探索与尝试.
一、探究Bernoulli大数定律的来龙去脉,激发学生的学习兴趣
在概率论中,最基本的一个问题就是对随机事件的概率给出一个科学的“度量”.对于有限等可能型与无限等可能型随机试验下的概率定义,人们很早就解决了.但是对于一般的随机试验,等可能性的条件可能不满足,此时如何定义随机事件的概率？由于频率与概率有密切的联系,一般地,事件A的发生的概率越大,则其发生频率也越大.反之,事件A的发生的频率越大其发生的概率也大.基于此,人们提出了概率的统计定义.
统计定义：设nA为事件A在n次独立重复试验中出现的次数.当试验的次数n无限增大时,称事件A发生的频率所稳定于的那个数p为事件A发生的概率.
这个定义很直观,很容易被广泛的大众所接受.但是把这个统计定义做为概率的数学定义,也有令人费解的地方：首先,你怎么证明满足定义的数p的存在性,抑或数p的存在只是一个假设；另外,由于频率是依随机试验的结果而定的,从而对时,不可能存在正整数N,使得对于于是定义中“所稳定于”并不是微积分中的极限.所以,上述概率的统计定义不能成为含义明确的数学定义.但是,J.Bernoulli注意到,当n→∞时,事件发生的概率很小.于是,J.Bernoulli于1713年的著作《推测术》中提出了概率论历史的第一条大数定律,也称为Bernoulli大数定律[1].
定理1（Bernoulli大数定律） 设nA表示事件A在n重独立重复试验中出现的次数,p为事件A发生的概率,则对于
证明：详见李贤平《概率论基础》[2].
注1：（1）它指出当试验次数n充分大时,事件发生的频率与事件发生的概率有较大偏差的可能性很小.从而利用概率论中的“小概率事件的实际不可能性原理”,即对于概率很小的事件,可以认为在一次试验中实际上是不可能发生的事情.在实际应用中,当试验次数较大时,可以用事件发生的频率来代替事件发生的概率.
（2）Bernoulli大数定律定义的这种类型的收敛是概率论与数理统计中很重要的一种收敛,称为依概率收敛.设X1,X2,…,Xn,…是一随机变量序列,a是一常数.若对坌ε＞0,有limn→∞P（|Xn-a|＜ε）等于1
则称X1,X2,…,Xn,…依概率收敛于a,记为Xn→ Pa.
（3）Bernoulli大数定律虽然解决了概率的统计定义中“所稳定于”的精确数学定义.但是,其定理中却又用到了概率的定义,这形成了一个怪圈,所以,概率的统计定义还是不能做为概率的严格数学定义.那随机事件的概率到底该如何定义呢？这就是1933年的概率论公理化定义[2].
二、扩展Bernoulli大数定律,让学生更好理解其余的大数定律
令0-1随机变量序列
也就是说,伯努利大数定律对于分布均为b（1,p）的相互独立的随机变量序列,有（2）式成立.其实,对于服从不同0-1分布的随机变量序列,（2）式也是成立的.这是1837年S.D.Poisson得到的Poisson大数定律[3].
定理2（Poisson大数定律） 设X1,X2,…,Xn,…是一相互独立的随机变量序列,且X1~b（1,pi）,则
证明：见李贤平《概率论基础》.
定理1与定理2对于服从别的分布的两两互不相关的随机变量序列也成立.1846年,P.L.Chebyshev对Poisson大数定律作了进一布的推广,得到了Chebyshev大数定律[4].
定理3（切比雪夫大数定律） 设X1,X2,…,Xn,…是一两两互不相关的随机变量序列,若存在常数C,使
证明：见李贤平《概率论基础》.
定理1至定理3的条件中均要求对随机变量序列的方差做出假设.若是对于独立同分布的随机变量序列,可以不必对方差提出假设.这是1929年得到的Khinchin大数定律[5].
定理4（Khinchin大数定律） 设X1,X2,…,Xn,…是一相互独立同分布的随机变量序列,若E（Xi）等于μ,
证明：见李贤平《概率论基础》.
注2：以上列的只是几个常用的大数定律,其实如今人们对大数定律的进一步推广研究还在一直不断地进行中.例如,上述讨论的都是针对不相关的随机变量序列,有（2）式成立,若对于相关的随机变量序列,其是否仍然成立？还有,对于随机阵列呢,（2）式是否也还是成立的？等等.
三、借助R语言随机模拟,对大数定律进行实证分析
为了让学生有更加直观的理解,在这里借助R语言来对大数定律进行实证分析.
第一种情形,对Bernoulli大数定律进行实证分析.设X1,X2,…,Xn是来自b（1,p0）的样本容量为n的样本.在重复次数为1000次的情况下,表1结出的是样本均值与真实值p0的偏差及的样本标准差.
由表1,可以发现随着样本n的增大,样本均值与真实值p0的偏差有减少的趋势,而且,样本均值的标准差也随着样本的增大而变小,这说明了随着样本的增大,不仅样本均值与真实值p0的偏差越来越小,而且样本均值的值也更加稳定.这从实证上论证了Bernoulli大数定律.
第二种情形,对Khinchin大数定律进行实证分析.设x1,x2,…,xn是来自总体Exp（θ0）的样本容量为n的样本,其中θ0是总体均值.在重复次数为1000次的情况下,表2结出的是样本均值与真实值p0的偏差及的样本标准差.
由表2,同样可以发现随着样本n的增大,样本均值与真实值p0的偏差有减少的趋势,而且,样本均值的标准差也随着样本的增大而变小,这说明了随着样本的增大,不仅样本均值与真实值p0的偏差越来越小,而且样本均值的值也更加稳定.这从实证上论证了Khinchin大数定律.
参考文献：
[1]Bernoulli,J.（1975）.Ars conjectandi[M].Werke,3,Birkhuser,pp.107-286,（Original：Basle,1713）.
[2]李贤平.概率论基础[M].北京：高等教育出版社.2004.
[3]Poisson,S.D.（1837）.R佴cherches sur la probabilit佴desjugements en mati侉re criminelle et en mati&egre;re civile [J].Paris.
[4]Chebyshev,P.L.（1961）.Oeuvres de P.L.Tchebycheff[M].2,Chelsea（1961）（Translated from Russian）.
[5]Khinchin,A.（1929）.Sur la loi des grands nombres [J].Comptes rendus de l´Académie des Sciences,189,477-479.
教学设计论文范文结:
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