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基于教材习题变式的微专题复习以多元最值问题为例
丁 勇
（江苏省白蒲高级中学,226511）
摘 要：在归纳重要题型的同时基于教材习题进行丰富变式,是设计“微专题”复习的一种重要方式.在“微专题”“多元最值问题的研究”的设计中,基于思维模型提炼,设计三组典型的多元最值问题,即线性规划问题、基本不等式问题和函数最值问题,通过一系列难度逐渐加大的变式“链接”教材题与高考题（或模拟题）,展现变化的过程和方法,反映基本解题思路,帮助学生更深刻地理解问题的来龙去脉,把握问题的本质特征.
关键词：“微专题”复习 教材习题 变式 多元最值问题
教材习题是经过编写专家深思熟虑而精选的,几乎每一道题都有丰富的教学价值.在归纳重要题型的同时基于教材习题进行丰富变式,是设计“微专题”复习的一种重要方式.下面以“多元最值问题的研究”为例,谈谈笔者对此的认识.
一、教学设计及意图
(一)问题整体解读
课始,教师投影展示并口头叙述：“多元最值问题是高中数学学习的重点、难点,也是高考考查的热点.多元最值问题中以二元问题最为常见,也相对简单；对于超过二元的问题,要善于将其转化成二元问题或一元问题.多元最值问题的高考命题和考查方向主要有：直接考查线性规划问题、基本不等式问题；与其他知识（如函数、数列、三角、解析几何等）综合的问题,考查整体处理、化归转化等能力；目标函数的结构比较复杂的问题,考查变形、化简等能力.”
设计意图：课始,从整体视角解读要研究的问题,阐述要研究问题的必要性、常见类型及解决思路、考查方向,旨在让学生从总体上把握本节课的研究内容、方法及意义,快速地进入学习状态.
(二)思维模型提炼
教师可以在引导学生具体解决典型习题及变式前,以多元最值问题为起点,引导学生分别阐述常见题型、解决方案、常见方法以及可能的失误与防范（学生无法回答时,教师可以直接给出）,得到如图1所示的思维模型.
教师也可以在引导学生具体解决典型习题及变式后,结合解决过程,让学生自己总结出同样的思维模型（学生总结好后,教师可以进一步完善）.
设计意图：思维模型中“常见题型”是学生必须掌握的问题类型,也是解题转化的归类指向；“解决方案”和“常见方法”为解决常见问题提供了整体思考的方向和策略以及具体操作的方法和技巧；“失误与防范”试图解决学生“会而不对、对而不全”的问题,是解题过程中的一种补充和检验.思维模型包含丰富的内容,对于解决问题既有理论指导,又有实践操作.思维模型提炼的时机和方式,要根据学生的学习情况来定.如果学生的学习基础比较薄弱,可以采用前者——这样可以提高课堂效率.多数情况下,可以采用后者——因为学生经历主动建构的过程,才更容易接受和理解思维模型.
(三)习题变式研究
教师依次出示如下三组典型问题并引导学生解决.
设计意图：原题是最基本的线性规划问题,即在二元线性约束条件下求二元线性目标函数的最值,可以引导学生复习巩固基本的求解方法,即几何意义转化.
变式1是线性规划与曲线的切线综合的问题,没有直接给出约束条件,需要利用导数知识确定,从而将其转化为最基本的线性规划问题.
变式2给出了二元二次目标函数,需要利用解决最基本线性规划问题的几何意义转化思路,把目标函数转化成动点到某一定点的距离的平方来解决.由此,可以引导学生总结常见的代数式蕴涵的几何意义.
变式3给出了二元非线性约束条件和二元非线性目标函数,需要注意式子结构方面的特征和变化,通过取对数把乘、除转化成加、减,即把非线性的式子转化成线性的式子,从而将其转化为最基本的线性规划问题；也可以将目标函数用约束条件中的整体结构表示,并利用不等式的性质来解决.借此,可以引导学生关注解决最基本线性规划问题的另一种思路,即代数结构处理.
变式4是三元非线性规划问题,需要注意式子结构方面的特征和变化,通过同时除以一个变量把三元问题转化为二元问题,再利用解决最基本线性规划问题的几何意义转化思路来解决.
设计意图：学生在新授学习或一轮复习中,对于由基本不等式关系得到的x2+y2,x+y、xy、1/x+1/y的关系比较熟悉,能够直接运用其处理一些简单的不等式和最值问题；但是对于一些式子结构复杂——尤其是系数不为1且有分式——的问题,缺乏处理的技巧.
原题便是应用基本不等式时系数不为1且有分式的最简单的问题,即“ax+by”和“c/x+d/y”结构关系的问题,可以引导学生发现解决这类问题的最基本的技巧,即“1”的代换.
变式1是基本不等式与等比数列综合的问题,没有直接给出“ax+by”结构的已知式,需要借助等比数列的通项公式确定,从而将其转化为原题的形式.
变式2将要求式复杂化了,需要通过整体换元简化分母以及部分分式的技巧将其转化成“c/x+d/y”的结构,再利用“1”的代换技巧解决.
变式3实际上是变式1的逆向问题,即对已知式和要求式进行了调换,同样需要通过整体换元简化分母的技巧将已知式转化成“c/x+d/y”的结构,且使要求式保持“ax+by”的结构,再利用“1”的代换技巧解决.
变式4同时给已知式和要求式增加了一个变量,并且把要求式“c/x+d/y”的结构变成了“dx+cy/xy”的结构,需要灵活借鉴“1”的代换的思路,通过增加的变量（即y）的代换来解决.
设计意图：变式5是线性规划与基本不等式的综合问题,可以在教师的引导下由学生结合例1和例2进行命制和解决,从而增加教学的趣味性,提升学生的成就感.
设计意图：与函数有关的多元最值问题丰富多样,而“已知函数在不同的单调区间上取相同的函数值,求相应的白变量构成的式子的范围”的一类问题,是学习的难点及高考的热点之一.
原题通过一个绝对值将对数函数分段为两个单调区间,要求两个对应的白变量的积的定值,可以引导学生发现解决这类问题的基本方法,即结合图像和分段表达式把函数值相等的关系转化为对应的白变量之间的关系（注意白变量的取值范围）,然后通过代换消元转化成一元函数问题来解决.
变式1通过两个绝对值将一次函数分段为四个单调区间（借助方程根的形式给出函数值相等的条件）,要求四个对应的白变量（即方程的根）的积的最值；问题因为变量个数的增加变得复杂了,但解题思路不变.
变式2通过一个新定义将二次函数分段为三个单调区间（借助方程根的形式给出函数值相等的条件）,要求三个对应的白变量（即方程的根）的积的最值；问题因为解析式次数的增加变得复杂了,但解题思路不变.
(四)作业拓展补缺
教师布置如下两道拓展问题作为作业.
设计意图：这两道作业题是对课堂问题的补充与拓展.一方面体现了与解三角形、解析几何等内容的综合,另一方面关注了判别式法、三角换元等易被忽视的技巧.这样,便有效地提升了教学的层次,让学生对多元函数最值问题有了更全面的认识.
二、教学反思
由上述教学案例可见,基于教材习题变式的“微专题”复习具有以下特点：一是切口小.“微专题”应该小而精,直指考点,直击要害；可以根据高考的重点、难点问题,选择对学生的思维能力要求较高的研究主题,体现知识之间的广泛联系、问题之间的丰富变化.二是题型定.“微专题”解决的问题是相似的：尽管题目的背景、涉及的知识点、设问的方式在不断变化,但是最终都可以归结为几种具有共同本质的题目类型.三是方法明.“微专题”涉及的解决问题方案和方法具有一致性；无论题目呈现的形式如何变化,在具体解决问题时通常可以借助一些基本的、常用的方法进行转化.四是“见微知著”.“微专题”复习中,教师引导学生逐个解决问题后,还可以分三个层次对学生的思维进行提升：(1)对于每一组题能否进一步提炼、整合,从更高的观点看透问题；(2)对于本专题所有问题能否进行进一步抽象、融合,提炼问题的本质；(3)抛开具体问题,探寻与其他知识、方法的相通之处,找到学科的内在根本方法和规律.由此,“微专题”复习才能提高学生高屋建瓴地把握问题的能力.
另外,由上述教学案例也可以看出,基于教材习题变式的“微专题”复习设计的关键是,针对高考考查的重点、难点、热点,选取教材习题中具有“题根”性质的题目作为母题,并在此基础上,通过一系列难度逐渐加大的变式“链接”常见的高考题（或模拟题）；由此展现变化的过程和方法,反映基本解题思路,引导学生“拾级而上”.这样,学生才能更深刻地理解问题的来龙去脉,把握问题的本质特征,并在面对较为困难的问题时自然地展开思路.比如,上述教学案例围绕高考考查的重点和难点,即多元最值问题,把这类问题分解为三个常见的子类,即线性规划问题、基本不等式问题、函数最值问题,从而找到教材中的典型问题；然后展现这些问题的变化过程与方式,如交换题设条件和所求结论,变化问题背景和呈现方式,通过调整对象、数量、计算、图形等要素变化题设条件或所求结论等,并注意了学生易错和知识综合的指向；同时反映了这些问题的基本解题思路,如特殊层面的几何意义转化、“1”的代换等,一般层面的变形、消元、转化等.由此,将一些比较困难的问题的来龙去脉和本质特征暴露无遗,从而有效地提高了学生对问题的理解层次与解决能力.
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